Mecanismos útiles de atenuación
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| Series | Geophysical References Series |
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| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 14 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Una onda sinusoidal viajera tiene la forma $ {\rm {\ sin\ 2}}\pi \left(ft-\ \kappa x\right) $, donde f, t, $ \kappa $ y x son, respectivamente, la frecuencia temporal, el tiempo, la frecuencia espacial (o número de onda) y la distancia. El período es T = 1/f, y la longitud de onda es $ \lambda ={1/}\kappa $. Durante un período de tiempo, la onda viaja una longitud de onda de distancia. Por lo tanto, la velocidad de la onda es igual a la longitud de onda durante el período. La velocidad de la onda se especifica mediante cualquiera de las expresiones
$ {\begin{aligned}V={\frac {f}{\kappa }}\mathrm {\;\;or\;\;} V={\frac {\lambda }{T}}\mathrm {\;\;\;or\;\;\;} {\frac {1}{\lambda }}={\frac {f}{V}}.\end{aligned}} $ ()
Como hemos visto, además de las pérdidas de transmisión y la propagación esférica, una onda sísmica pierde amplitud debido a la absorción (Ecevitoglu y Costain, 1988[1]). La absorción es la pérdida de energía elástica por conversión irreversible en calor. La absorción disminuye la amplitud de una onda sinusoidal a medida que viaja. El factor de calidad Q es
$ {\begin{aligned}Q={\frac {\pi f}{\alpha V}}={\frac {\pi }{\alpha \lambda }}.\end{aligned}} $ ()
El mecanismo generalmente aceptado para la atenuación es el modelo lineal dado por la ecuación 1. Si eliminamos el efecto de la expansión esférica (es decir, si eliminamos el factor $ x_{0}/x $) y si dejamos que la amplitud inicial $ A_{0} $ sea la unidad, entonces la ecuación 1 se reduce a
$ {\begin{aligned}A={\rm {\ exp\ }}\left[-\alpha \ x\right]={\rm {\ exp\ }}\left[-{\frac {\pi fx}{QV}}\right]={\rm {\ exp\ }}\left[-{\frac {\pi x}{Q\lambda }}\right].\end{aligned}} $ ()
La ecuación 5 proporciona la pérdida de amplitud que se produce debido a la absorción. Además, la ecuación 5 muestra que la pérdida de absorción es una función del cociente $ x{/}\lambda $. Este cociente es la distancia recorrida dividida por la longitud de onda. El mecanismo es selectivo en cuanto a la longitud de onda, ya que para una distancia recorrida dada, se produce una mayor pérdida para una longitud de onda pequeña que para una longitud de onda grande. En otras palabras, para una distancia recorrida dada, se produce una mayor pérdida para una frecuencia grande que para una frecuencia pequeña. Si x es la distancia recorrida, entonces $ t=x/V $ es el tiempo de viaje. Por lo tanto, la pérdida de amplitud resultante de la absorción se puede escribir como
$ {\begin{aligned}A={\rm {\ exp\ }}\left[-{\frac {\pi x}{Q\lambda }}\right]={\rm {\ exp\ }}\left[-{\frac {\pi fx}{QV}}\right]={\rm {\ exp\ }}\left[-{\frac {\pi ft}{Q}}\right].\end{aligned}} $ ()
Por ejemplo, supongamos que la velocidad de onda en el medio es 3048 m/s y que "Q" es 100. Una onda plana de frecuencia 19,5 Hz tiene una longitud de onda de 3048/19,5, que es 156 m. Una onda plana del doble de la frecuencia dada, es decir, una onda plana de frecuencia 39 Hz, tiene una longitud de onda de 3048/39, que es 78 m. Supongamos que ambas ondas recorren una distancia de "x" = 1524 m. La pérdida de amplitud para la onda de 19,5 Hz es
$ {\begin{aligned}{\rm {\ exp\ }}\left[-{\frac {\pi }{100}}{\frac {1524}{156}}\right]={0.74},\end{aligned}} $ ()
Mientras que la pérdida de amplitud para la onda de 39 Hz es
$ {\begin{aligned}{\rm {\ exp\ }}\left[-{\frac {\pi }{100}}{\frac {1524}{78}}\right]={0.54}.\end{aligned}} $ ()
Por lo tanto, para recuperar la amplitud original, la onda de 19,5 Hz debe multiplicarse por el factor de amplificación 1/0,74 = 1,35. De manera similar, la onda de 39 Hz debe multiplicarse por el factor de amplificación 1/0,54 = 1,85.
Una wavelet está formada por ondas sinusoidales de todas las frecuencias desde cero hasta la frecuencia de Nyquist. Para restaurar una wavelet que ha recorrido 1524 m, cada componente sinusoidal debe multiplicarse por el factor de amplificación adecuado.
La ecuación 5 se puede escribir como
$ {\begin{aligned}A={\rm {\ exp\ }}\left[-bf\right]\mathrm {\;\;with\;\;} b={\frac {\pi }{Q}}{\frac {x}{V}}.\end{aligned}} $ ()
La expresión "A", considerada como una función de la frecuencia, representa el espectro de amplitud del filtro de absorción terrestre, también llamado "filtro Q". El logaritmo del espectro de amplitud es
$ {\begin{aligned}{\rm {\ log\ A=}}-bf\mathrm {\;\;\;{\rm {with\;\;\;}}} b={\frac {\pi x}{QV}}.\end{aligned}} $ ()
Así, el logaritmo del espectro de amplitud es una línea recta con pendiente "b". El filtro es causal y, por lo general, se supone que es de fase mínima (Aki y Richards, 2002[2]). El espectro de fase mínima es la transformada de Hilbert del espectro de amplitud logarítmica (Silvia y Robinson, 1979[3], pág. 90). Los espectros de amplitud y fase conforman el espectro de frecuencia del filtro de absorción (es decir, del filtro "Q"). La transformada de Fourier inversa de este espectro proporciona la función de respuesta al impulso del filtro "Q". Esta función de respuesta al impulso se denomina "pulso Q". Como el filtro "Q" es de fase mínima, tiene una fase mínima inversa.
A modo de ejemplo, sea x = 1524 m, Q = 100 y V = 3048 m/s de modo que
$ b={\frac {{1524}\pi }{{100}\cdot {3048}}}={0.0157.} $
Traducciones:Mecanismos de atenuación útiles/22/es
El logaritmo del espectro de amplitud del pulso "Q" es la línea recta con pendiente -"b" que se muestra en la Figura 1a. La Figura 1a también muestra el logaritmo del espectro de amplitud del pulso "Q" inverso. El logaritmo del espectro de amplitud del pulso "Q" inverso es simplemente el negativo del logaritmo del espectro de amplitud del pulso "Q" porque los dos deben sumar cero.
El espectro de amplitud del pulso "Q" se muestra en la Figura 1b, al igual que el espectro de amplitud del pulso "Q" inverso. El espectro de amplitud del pulso "Q" inverso es simplemente el recíproco del espectro de amplitud del pulso "Q" porque los dos deben multiplicarse por uno.
El espectro de fase del pulso "Q" y el espectro de fase del pulso "Q" inverso se muestran en la Figura 1c. El espectro de fase del pulso "Q" inverso es simplemente el negativo del espectro de fase del pulso "Q" porque los dos deben sumar cero.
Finalmente, en la Figura 1d, vemos el pulso Q y el pulso Q inverso para x = 1524 m. Los dos pulsos deben convolucionar hasta formar un pico. Los puntos de cada espectro de la Figura 1 que corresponden a las frecuencias 19,5 Hz y 39 Hz se indican en la figura. En particular, los puntos del espectro de amplitud (Figura 1b) dan el valor 0,74 para 19,5 Hz y el valor 0,54 para 39 Hz, que son los factores de absorción calculados anteriormente. Los puntos del espectro de amplitud del inverso dan el valor 1,35 para 19,5 Hz y el valor 1,85 para 39 Hz, que son los factores de amplificación calculados anteriormente. Por lo tanto, para restaurar la amplitud original a una señal que ha sufrido absorción, la señal debe convolucionarse con el inverso del pulso Q.
Mecanismos de atenuación útiles/27/es El coeficiente de absorción, tal como se da en la ecuación 2, aumenta con la frecuencia. Por lo tanto, a medida que una ondícula viaja, pierde cada vez más valores de alta frecuencia. Como resultado, una ondícula se ensancha con la distancia que ha viajado. Cuanto más profunda es la reflexión, mayor es la pérdida de las frecuencias más altas. ¿Qué distancia puede viajar una onda (de frecuencia 39 Hz) antes de que se reduzca a una décima parte de su amplitud original? De la ecuación 2, vemos que el coeficiente de absorción es
$ {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\pi f}{QV}}={\frac {\pi \left({39}\right)}{\left({100}\right)\left({3048}\right)}}={0.000402}.\end{aligned}} $ ()
De la ecuación 5, tenemos
$ {\begin{aligned}{\frac {1}{10}}=e^{-{0.000402}x}.\end{aligned}} $ ()
La solución de esta ecuación da "x" = 5729 m. Por lo tanto, simplemente por absorción, la amplitud de una onda plana disminuye en un factor de 0,1 a medida que la onda se desplaza hasta una profundidad de 2864 m y vuelve a la superficie.
En lo que respecta a la absorción, se parte de una suposición básica: cuando una onda recorre una longitud de onda, la absorción reduce la amplitud de la onda en una determinada fracción. La suposición es que la fracción es independiente de la longitud de onda. La absorción se puede aproximar como una disminución exponencial de la energía con la distancia de propagación. La disminución es aproximadamente constante con cada ciclo de frecuencia. Una onda de alta frecuencia de 39 Hz que viaja a 3048 m/s tiene una longitud de onda de 78 m. Una onda de baja frecuencia de 19,5 Hz que viaja a 3048 m/s tiene una longitud de onda de 156 m. La onda de alta frecuencia sufre la misma cantidad de absorción al viajar 78 m que la onda de baja frecuencia al viajar 156 m, o el doble de distancia. El resultado neto es que los componentes de alta frecuencia sufren una mayor atenuación que los componentes de baja frecuencia por unidad de distancia recorrida. La absorción se mide mediante el factor de calidad "Q". Una roca erosionada en la superficie puede tener un factor "Q" tan bajo como 10 o 20, mientras que una roca profunda, menos absorbente, puede tener un factor "Q" de 200. Es decir, "Q" aumenta y la absorción disminuye con la profundidad.
A profundidades suficientemente grandes, la presencia de ruido aleatorio generalmente impide la posibilidad de obtener registros de impedancia acústica sísmica de buena calidad. El nivel de ruido aleatorio depende de agentes como el ruido del viento (que actúa directamente sobre los geófonos o indirectamente al sacudir el suelo) y la dispersión de ondas que viajan horizontalmente por inhomogeneidades aleatorias. Además, aunque la transmisión a través de una capa de agua es excelente, las irregularidades en forma de dispersores del fondo dentro del agua (peces, burbujas de gas o artefactos artificiales) se combinan para dar lugar a una energía dispersa incoherente que persiste hasta altas frecuencias. La penetración de energía de alta frecuencia directamente en la tierra y el retorno de energía de alta frecuencia desde las capas objetivo se ve limitada tanto por la absorción irreversible a través de la fricción sólida como por fenómenos puramente elásticos como la pérdida de energía por reverberaciones y la transmisión a través de muchos límites de capas.
Resumamos. En una buena aproximación, la pérdida de amplitud resultante de la absorción sigue la ley exponencial dada por la ecuación 5, para la cual el coeficiente de absorción viene dado por la ecuación 2. La pérdida, en decibeles, al recorrer una distancia "x" es
$ {\begin{aligned}\mathrm {dBloss} ={8.686}{\frac {\pi fx}{QV}}.\end{aligned}} $ ()
La pérdida de dB es proporcional tanto a "f" como a "x". El efecto de duplicar "Q" produce el mismo efecto que el de reducir a la mitad la distancia "x". Los experimentos con ondas transversales muestran lo drástica que es la disminución exponencial. Es necesario tener cuidado para asegurarse de que un objetivo esté dentro de los límites de lo posible. A menudo, los resultados solo se pueden obtener en ciertos tipos de secciones litológicas.
Veamos un ejemplo. Supongamos que la pizarra de Pierre tiene un espesor de 1524 m, una velocidad de 2377 m/s y una "Q" efectiva de 20. Supongamos que se ha establecido una cierta relación señal-ruido al propagar una señal de 15 Hz a una profundidad justo por debajo de la pizarra de Pierre. ¿Cuánto mayor debe ser la relación señal-ruido para propagar una señal de 30 Hz a la misma profundidad? La pérdida de decibelios a 15 Hz es
$ {\begin{aligned}{\rm {dB\ }}\mathrm {loss} ={8.686}{\frac {\pi {15}\left({3048}\right)}{{20}\left({237}{7}\right)}}={26.23}.\end{aligned}} $ ()
La pérdida de decibelios a 30 Hz es
$ {\begin{aligned}{\rm {dB\ }}\mathrm {loss} ={8.686}{\frac {\pi {30}\left({3048}\right)}{{20}\left({2377}\right)}}={52.46}.\end{aligned}} $ ()
Por lo tanto, es necesaria una ganancia de 26,23 dB en la señal.
Referencias
- ↑ Ecevitoglu, B. G., y J. K. Costain, 1988, New look at body wave dispersion: 58th Annual International Meeting, SEG, Expanded Abstracts, 1043–1045.
- ↑ Aki, K. y P. G. Richards, 2002, Quantitative seismology, 2nd ed.: University Science Books.
- ↑ Silvia, M. T. y E. A. Robinson, 1979, Deconvolution of geophysical time series in the explore for oil and natural gas: Elsevier.
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