La equación de onda
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| Series | Geophysical References Series |
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| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 3 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
La ecuación de onda se basa en dos leyes fundamentales. La ley de Hooke dice que el esfuerzo es proporcional a la deformación, y la ley de Newton dice que la fuerza es igual a la masa por la aceleración. A partir de la ecuación de onda, podemos predecir la existencia de ondas de compresión y ondas de corte y sus propiedades. Estas propiedades incluyen la ley de Snell de reflexión y refracción, la partición de energía en una interfaz en componentes de compresión y corte, la generación de ondas superficiales y sus características, la difracción de ondas, la atenuación de las ondas a medida que viajan en la tierra y muchos otros hechos de propagación de ondas. Todos los procedimientos de migración invocan la ecuación de onda (Loewenthal et al., 1976[1]). Un modelo simplificado basado en trayectorias de rayos que obedecen la ley de Snell en las interfaces y siguen trayectorias de menor tiempo se ha convertido en un modelo estándar utilizado en geofísica.
¿Qué es una onda plana? Una onda plana es quizás el ejemplo más simple de una onda 3D. Existe en un instante dado y puede visualizarse como una superficie plana que se propaga con una fase constante, de modo que la superficie plana permanece perpendicular a una dirección dada de propagación. Una onda plana es esencialmente unidimensional porque la variación espacial ocurre solo a lo largo de la dirección de propagación. Tenemos razones bastante prácticas para estudiar este tipo de perturbación, una de las cuales es que una onda esférica observada real puede descomponerse en sus ondas planas constituyentes. Este procedimiento se llama "descomposición de ondas planas" y es útil porque las ondas planas tienen propiedades mucho más simples que las ondas esféricas. La importancia especial de este enfoque es que cualquier onda 3D puede expresarse como una combinación de ondas planas, cada una con una amplitud y dirección de propagación distintas. De todas las ondas 3D, solo la onda plana (ya sea sinusoidal o no) se mueve a través del espacio con un perfil inmutable.
Cuando la ecuación de onda 3D se escribe en términos de coordenadas cartesianas (x,y,z), las variables de posición x, y y z aparecen simétricamente, un hecho que debe tenerse en cuenta. Las coordenadas cartesianas son especialmente adecuadas para describir ondas planas. Sin embargo, a medida que surgen diversas situaciones físicas, a menudo podemos aprovechar mejor las simetrías existentes utilizando otras representaciones de coordenadas.
¿Qué es un rayo? Hay varias formas de pensar en las ondas. Una de ellas es pensar en el movimiento ondulatorio en términos de rayos. El concepto de rayo es muy útil. Imaginemos que la onda viaja en haces muy estrechos, llamados rayos. Este modelo de rayos permite comprender diversos fenómenos ondulatorios, especialmente la reflexión y la refracción. Un rayo es una línea dibujada en el espacio que corresponde a la dirección del flujo de energía radiante. Como tal, es un dispositivo matemático más que una entidad física. En la práctica, a veces podemos producir haces muy estrechos, o lápices, y podríamos imaginar que un rayo es el límite inalcanzable de la estrechez de dicho haz. Dentro de materiales isótropos homogéneos, un rayo es una línea recta porque, por simetría, no hay una dirección preferida que haga que el rayo forme una trayectoria curva. Los rayos se curvan en la interfaz entre dos medios con diferentes velocidades, y los rayos pueden curvarse en un medio en el que la velocidad es una función de la posición.
¿Qué es un frente de onda? El dual del rayo es el frente de onda (Figura 3). Consideremos que el frente de onda representa la superficie frontal de la onda que se aleja de una fuente explosiva. Podemos visualizar este frente de onda físicamente y podemos medirlo dentro de límites estrechos. Por ejemplo, cuando observamos las ondas que emanan de un punto en el que hemos dejado caer una piedra en un estanque en calma, vemos el movimiento de la onda que se desplaza hacia afuera como frentes de onda, y las trayectorias de los rayos son solo construcciones mentales. Del mismo modo, en la interpretación sísmica, los rayos se visualizan solo como abstracciones matemáticas, mientras que los frentes de onda se pueden ver en las secciones sísmicas como eventos de reflexión. Por esa razón, dirigimos nuestra atención al estudio geométrico de los frentes de onda.
Los puntos en los que un único rayo intersecta un conjunto de frentes de onda se denominan "puntos correspondientes". Evidentemente, la separación en el tiempo entre dos puntos correspondientes cualesquiera en dos frentes de onda secuenciales cualesquiera es idéntica. En otras palabras, si el frente de onda "S" se transforma en $ S^{'} $ después de un tiempo $ t^{'} $, la distancia entre los puntos correspondientes en cualquiera y todos los rayos se recorrerá en ese mismo tiempo $ t^{'} $. Obviamente, esto será cierto incluso si los frentes de onda pasan de un medio isótropo homogéneo a otro. Esto simplemente significa que cada punto en "S" puede imaginarse como si siguiera la trayectoria de un rayo para llegar a $ S^{'} $ en el mismo tiempo $ t^{'} $. Dentro de un medio isótropo homogéneo, la velocidad de propagación es idéntica en todas las direcciones. En un medio así, la separación espacial entre dos frentes de onda, medida a lo largo de un rayo, debe ser la misma en todas partes.
Un frente de onda puede definirse como la superficie (en tres dimensiones) o curva (en dos dimensiones) sobre la cual la fase de una perturbación de onda viajera es la misma. En un medio isótropo —aquel cuyas propiedades son las mismas en todas las direcciones— los rayos forman trayectorias que son ortogonales a los frentes de onda. Es decir, los rayos son líneas normales a los frentes de onda en cada punto de intersección. Evidentemente, en un medio de este tipo, un rayo sigue la dirección de propagación. Sin embargo, esto no es así en los materiales anisotrópicos.
Un frente de onda también puede referirse al borde delantero de una forma de onda. Un gráfico de frente de onda (Figura 4) es un gráfico de la distancia horizontal "x" versus la profundidad z en el que se han dibujado frentes de onda que emanan de una fuente. Los frentes de onda muestran la posición de una perturbación sísmica que se desplaza en momentos sucesivos. Las formas de los frentes de onda dependen de la distribución de la velocidad de las rocas. En dichos gráficos, también se pueden dibujar trayectorias de rayos correspondientes a diferentes movimientos de salida. Estas trayectorias de rayos son perpendiculares a los frentes de onda para medios isotrópicos. A veces, se dibujan gráficos de frente de onda que son específicos para una ubicación particular donde la velocidad varía lateralmente; en tales casos, los gráficos de frente de onda son asimétricos. Para el caso en el que la velocidad varía solo con la profundidad, el gráfico de frente de onda es simétrico con respecto a la trayectoria de rayos vertical.
Una fuente puntual idealizada es aquella en la que la radiación que emana de ella fluye radialmente y de manera uniforme en todas las direcciones. Se dice que la fuente es isótropa y los frentes de onda resultantes son nuevamente esferas concéntricas que aumentan de diámetro a medida que se expanden hacia el espacio circundante. Una solución de la ecuación de onda da una onda esférica que progresa radialmente hacia afuera desde el origen a una velocidad constante y que tiene una forma funcional arbitraria. Otra solución se da en el caso en el que la onda converge hacia el origen.
Obsérvese que la amplitud de cualquier frente de onda esférico es una función de su distancia desde el centro, ya que el término radial actúa como un factor de atenuación extrínseco. Este factor de atenuación extrínseco es una consecuencia directa de la conservación de la energía, un fenómeno conocido como "propagación geométrica". Es decir, a diferencia de una onda plana, una onda esférica disminuye en amplitud a medida que se expande y se aleja de su fuente, cambiando así su perfil. A medida que un frente de onda esférico se propaga hacia afuera, su radio aumenta. Por lo tanto, a una distancia suficiente de la fuente, una pequeña área del frente de onda se parecerá mucho a una porción de una onda plana (Figura 5).
Gran parte de la metodología actual de procesamiento sísmico se basa en la aproximación de ondas planas a una onda esférica en particular, así como a otros tipos de frentes de onda curvos en general. La frecuencia temporal, o el número de ciclos por unidad de tiempo, es el dual de Fourier para la variable de tiempo. La frecuencia espacial, o número de onda, es el dual de Fourier para la variable de espacio. El número de onda proporciona el número de ciclos por unidad de distancia.
Cuando existen discontinuidades irregulares en un medio no uniforme, dan lugar a fenómenos complejos de reflexión, refracción y difracción. El principio (o construcción) de Huygens es particularmente útil para tratar problemas de este tipo. El principio de Huygens establece que cada punto de un frente de onda primario sirve como fuente de wavelets esféricos secundarios, y el frente de onda primario en algún momento posterior es la envolvente de estos wavelets. Además, los wavelets avanzan con una velocidad y frecuencia iguales a las de la onda primaria en cada punto del espacio. Si el medio es homogéneo, los wavelets pueden construirse con radios finitos, mientras que si el medio es no homogéneo, los wavelets deben tener radios infinitesimales.
La construcción de Huygens permite que una onda que viaja en sentido inverso se desplace hacia la fuente, algo que no se observa. Fresnel y Kirchhoff solucionaron esta dificultad teóricamente, demostrando que en el mundo real solo pueden existir ondas que se desplazan hacia adelante. Por lo tanto, solo podemos utilizar las ondas que se desplazan hacia adelante al aplicar la construcción de Huygens.
El análisis sísmico casi siempre se lleva a cabo mediante un proceso de abstracción en el que los datos se reducen a lo esencial que admite un tratamiento matemático. La precisión requerida en los resultados influye en el grado en que se realizan dichas reducciones, y esa precisión está limitada por la fiabilidad de los datos. Hoy en día, los métodos analíticos se implementan con la computadora digital y sus valores relativos se juzgan por su velocidad, fiabilidad y claridad.
Dos procesos importantes en el procesamiento de datos sísmicos son el apilamiento y la migración (Berkhout y de Jong, 1981[2]). Se puede aprender mucho sobre ellos mediante líneas de pensamiento geométricas. Al tratar el apilamiento y la migración desde un punto de vista geométrico, se puede tomar como punto de partida el concepto de trayectoria de rayos o el concepto de frente de onda. En sismología geométrica (es decir, la teoría de ondas sísmicas con longitudes de onda que son pequeñas en comparación con las ondulaciones de las interfaces del subsuelo), un rayo se puede visualizar como un haz estrecho a lo largo del cual se transporta energía. Este concepto es especialmente válido al tratar una serie larga de ondas con longitudes de onda del orden de una fracción de la dimensión de cualquier objeto encontrado.
Sin embargo, cuando la dimensión de algún obstáculo es del mismo orden de magnitud que la longitud de onda, entonces se produce el fenómeno de difracción. En el caso de una fuente impulsiva (por ejemplo, una explosión de dinamita), la energía sísmica se transporta en forma de una pequeña ondícula compresiva cuya amplitud es del mismo orden de magnitud que los cuerpos geológicos cuya forma deseamos determinar. Por lo tanto, dentro de los rangos de distancia, velocidades y frecuencias habituales que se encuentran en el trabajo sísmico, no tenemos trayectorias de rayos puros en forma de haces infinitamente estrechos, por lo que debemos tener en cuenta los efectos de difracción.
Referencias
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También en este capítulo
- El método de sísmica de reflexión
- Interpretación sísmica
- Porosidad
- Pérdida por absorción y transmission
- Velocidad de onda
- Análisis de velocidad
- Tomografía sísmica
- Coherencia
- Apéndice C: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about The wave equation/es |
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