Transformada de Hilbert

Dada una funcion $h(t)$, no singular cuando $t=0$ y que es una respuesta causal tal que $h(t)=0$ para $t<0$; entonces es la transformada de Fourier,

$H(\omega )=R(\omega )\pm iX(\omega ),$

(donde $\omega =$ frecuencia angular y $i={\sqrt {-1}}$) tiene la característica especial conocida como la transformada de Hilbert, expresada como

$X(\omega )=\pm {\frac {1}{\pi \omega }}\star R(\omega )={\frac {\pm 1}{\pi }}{\mbox{P.V.}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {R(y)\;dy}{\omega -y}}$

$R(\omega )=\mp {\frac {1}{\pi \omega }}\star X(\omega )={\frac {\mp 1}{\pi }}{\mbox{P.V.}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {X(y)\;dy}{\omega -y}}$

donde $P.V.$ denota el valor principal de Cauchy en las discontinuidades. Si $H(\omega )$ desaparece para $\omega <0,$ su transformada de Fourier,

$h(t)+ix(t),$

tiene $h(t)$ y $x(t)$ definiendo un par de la transformado de Hilbert. $h(t)$ y $x(t)$ tienen el mismo espectro de amplitud pero difieren en fase por $90^{\circ }$. $[h(t)+ix(t)]$ se denomina señal analítica correspondiente a $h(t)$, y $x(t)$ es la señal de cuadratura correspondiente a $h(t)$. Con frecuencia se utiliza en análisis de la traza compleja (ver).

La ambiguedad en el signo de la expresión resulta, en parte, de la notacion seleccionada para la transformada de Fourier y las prácticas comunes de implementación numérica.

Recibe su nombre en honor a David Hilbert (1862–1943), matemático alemán.

Derivada de la Transformada de Hilbert

Hay diversas anotaciones y diversas convenciones de signos dependiendo de la elección que se pueda tomar, pero esto no tiene ningún efecto en el uso de la transformada de Hilbert, mientras se mantenga consistencia.

La Fórmula Integral de Cauchy

Nuestra derivada aquí comienza con la Fórmula de la Integral Cauchy, que es un resultado estándar de la teoría de funciones de una variable compleja

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(w)\;dw}{w-z}}.$

Aquí $z=x+iy$ es una variable compleja, como es $w={\mbox{Re}}\;w+{\mbox{Im}}\;w$ y $f(z)={\mbox{Re}}\;f+i{\mbox{Im}}\;f.$ la función es una función con valores complejos de $z$. La función $f$ es analítica lo que significa que existe la derivada de $f(z)$ con respecto a $z$ (y de manera similar existe la derivada con respecto a $w$ de $f(w)$ ) cierta región limitada por la curva cerrada $C$ llamada el contorno de integración

Partes Imaginarias y Reales

Ahora todo lo que tenemos que hacer es sustituir $f(x)$ y $f(w)$ y comparar las partes reales e imaginarias. Cuando hacemos esto, obtenemos las expresiones para las partes imaginarias y reales de $f(z)$ :

${\mbox{Im}}\;f(z)=-{\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}{\frac {{\mbox{Re}}\;f(w)\;dw}{w-z}}.$

${\mbox{Re}}\;f(z)={\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}{\frac {{\mbox{Im}}\;f(w)\;dw}{w-z}}.$

Así, para una función analítica $f(z)$, hay una relación entre sus partes reales e imaginarias. Estas expresiones formales proporcionan un contexto para la transformada de Hilbert.

Contorno de integración y el Valor Principal de Cauchy

"Figura 1: el contorno C para la integral del valor principal Cauchy"

Por el Teorema de Cauchy podemos cambiar un contorno de integración en el plano complejo de cualquier manera que quisieramos siempre y cuando no intentemos cruzar un polo, punto de bifurcación u otra singularidad, que son los lugares donde el integrando es incapaz de ser analítico. Ver la Figura 1.

Aquí consideramos que el contorno de integración consiste en una porción del eje real de $-R\rightarrow x-\epsilon$ y de $x+\epsilon \rightarrow R$, más una integral sobre el semicírculo de radio más pequeño $\epsilon$, que tienden a tener un radio que desaparece como $\epsilon \rightarrow 0$ más una integral sobre el semicírculo más grande $C_{1}$, que tiende a tener radio infinito, como $|R|\rightarrow \infty$. Porque el punto de $z=x+iy$ es una particularidad, la porción del contorno de integración a lo largo del eje real solo puede tener sentido como una evaluación de valor Principal de Cauchy.

Volviendo a la función de valores complejos $f(z)$, podemos escribir la fórmula integral de Cauchy como la suma de tres integrales

$0=\oint _{C}{\frac {f(w)\;dw}{w-z}}=\lim _{|\epsilon |\rightarrow 0}\lim _{|R|\rightarrow \infty }\left(\int _{-R}^{x-\epsilon }+\int _{x+\epsilon }^{R}\right)\left({\frac {f(w)\;dw}{w-z}}\right)+\int _{|z|=\epsilon }{\frac {f(w)\;dw}{w-z}}+\int _{C_{1}}{\frac {f(w)\;dw}{w-z}}$

El 0 del Teorema de Cauchy resulta debido al hecho de que no hay polo dentro del contorno

Ahora restringimos la evaluación a las funciones $f(z)=o(1/R)$ como $R\rightarrow \infty$. Esto es, asumimos que $|f(z)|$ se anula más rápidamente que $1/R$ como $R\rightarrow \infty$. Porque la longitud del arco del semicírculo más grande crece como una función de $R$ esta restricción garantiza que la contribución de la integral sobre el semicírculo más grande desaparece como $R\rightarrow \infty$.

Si el contorno $C$ puede ampliarse hasta el infinito, con $z$ para estar en algún lugar sobre el eje real, entonces podriamos reemplazar la integral sobre $C$ con un valor Principal de la integral de Cauchy a lo largo del eje real. El Teorema del Residuo, cuando se aplica a un contorno semicircular pasando por debajo de $z$ yields $-\pi i{\mbox{Res}}(f(w),z)$ el cual es llamado mitad-residuo que conlleva a la forma especial de la fórmula de la integral de Cauchy

$\lim _{|\epsilon |\rightarrow 0}\lim _{|R|\rightarrow \infty }\left(\int _{-R}^{x-\epsilon }+\int _{x+\epsilon }^{R}\right)\left({\frac {f(w)\;dw}{w-z}}\right)=i\pi f(z)$

donde la expresión de la izquierda es la evaluación del Valor Principal de Cauchy.

Substituyendo $f(z)={\mbox{Re}}\;f(z)+i{\mbox{Im}}\;f(z)$ y recíprocamente $f(w)={\mbox{Re}}\;f(w)+i{\mbox{Im}}\;f(w)$ obtenemos las dos expresiones equivalentes para las partes real e imaginaria $f(z)$ en términos del valor principal de la integral de Cauchy

${\mbox{Im}}\;f(z)=-{\frac {1}{\pi }}{\mbox{P.V.}}\int {\frac {{\mbox{Re}}\;f(w)\;dw}{w-z}}$

y

${\mbox{Re}}\;f(z)={\frac {1}{\pi }}{\mbox{P.V.}}\int {\frac {{\mbox{Im}}\;f(w)\;dw}{w-z}}$ .

Definiendo la tranformada de Hilbert

La primera expresión define la transformada directa de Hilbert, la cual la escribimos substituyendo $t$ y $\tau$ para $z$ y $w$ como

${\mathcal {H}}(f(t))\equiv {\frac {1}{\pi }}{\mbox{P.V.}}\int _{\infty }^{\infty }{\frac {f(\tau )\;d\tau }{t-\tau }}.$

Aquí, el signo en la integral es naturalmente positivo . El signo menos ha sido absorbido dentro de la integral por el cambio del orden de $t$ y $\tau$ en el denominador de la integral original. Esto se hace para llegar a la forma de convolución

${\mathcal {H}}(f(t))={\frac {1}{\pi t}}\star f(t).$

La forma correcta de la transformada inversa de Hilbert, es dada arriba por el segundo valor principal de la integral de Cauchy como

$f(t)\equiv -{\frac {1}{\pi }}{\mbox{P.V.}}\int _{\infty }^{\infty }{\frac {{\mathcal {H}}(f(\tau ))\;d\tau }{t-\tau }}.$

Es común que la misma definición de integral se utiliza para la transformada directa e inversa. La doble aplicación de la transformada de Hilbert produce la negativa de la expresión original

$-f(t)={\mathcal {H}}[{\mathcal {H}}(f(t))].$

La representación de Fourier de la transformada de Hilbert

Si nosotros empezamos con la forma de la convolucion de la transformada de Hilbert

${\mathcal {H}}(f(t))={\frac {1}{\pi t}}\star f(t)$

Sabemos por los resultados de convolución que la convolución en el dominio del tiempo es la multiplicación en el dominio de la frecuencia, así que podemos escribir claramente la transformada de Hilbert como

${\mathcal {H}}(f(t))={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left({\frac {1}{\pi t}}\right){\hat {f}}(\omega )e^{-i\omega t}d\omega$

Aquí, ${\mathcal {F}}$ denota la tranformada directa de Fourier.

Vamos ahora a calcular la transformada de Fourier de $t1/\pi$.

${\mathcal {F}}\left({\frac {1}{\pi t}}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi t}}e^{i\omega t}\;dt$

Consideraremos el contorno integral

$I=\int _{C}{\frac {e^{i\omega t}}{t}}\;dt$

con $C$ siendo un trayecto cerrado en sentido contrario de las manecillas del reloj, de la integral que incluye el origen. Por el teorema del residuo, esta integral se evalúa fácilmente como

$I=2\pi i.$

"Figura 2: contorno para t<0 y frecuencia positiva"

Elección del contorno

Como en la anterior discusión, nosotros cambiamos el contorno de integración para crear una integral de valor real en el eje real. Esta integral tiene sentido como un valor Principal de la integral de Cauchy. Es decir, evitamos la singularidad en el integrando en $t=0$. Además de esta contribución, existe una evaluación mitad-residuo en el arco semicircular debido al polo en $t=0$. El Principal valor de la integral se obtiene finalmente, realizando un proceso limitante a cada lado de la singularidad.

La tercera parte es una integral sobre el contorno del semicírculo más grande, pero esta desaparece por un resultado conocido como Jordan's Lemma

$2\pi i={\mbox{P.V.}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{t}}\;dt+\pi i$

del cual podemos escribir,

$i={\mbox{P.V.}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\pi t}}\;dt.$

Aquí estamos considerando que $t$ seria una variable compleja, tal que $t=a+ib$. Hay limitaciones en los valores de $\omega$ de tal forma que esta integral pueda existir. Observamos que la parte exponencial de la integral puede ser reescrita como

$e^{i\omega t}=e^{i|\omega |\operatorname {sgn}(\omega )(a+ib)}=e^{i\omega a}\cdot e^{-|\omega |\operatorname {sgn}(\omega )b},$

donde $a={\mbox{Re}}\;t$ y $b={\mbox{Im}}\;t$.

Aqui el factor de

$e^{-|\omega |\operatorname {sgn}(\omega )b}$

representa un decaimiento exponencial si el exponente es negativo y un crecimiento exponencial si el signo del exponente es positivo. Ya que estamos alterando el contorno con el fin de hacerlo infinito, debemos tener una integral que disminuya. De lo contrario, la integral desaparecería, no existiría. Si la integral no desaparece en un determinado plano medio de math> t </math> entonces la integral representa una función que es analítica en ese plano medio.

Por lo tanto, cuando ${\mbox{Im}}\;t<0,$ para el caso en que el contorno de integración se cierra en el plano-medio-superior de $t,$ tenemos que tener $\operatorname {sgn}(\omega )=+1$ y cuando ${\mbox{Im}}\;t>0,$ el contorno se cierra en el plano-medio-inferior de $t,$ tenemos que tener $\operatorname {sgn}(\omega )=-1$ para que la integral exista.

"Figura 3: contorno para t>0 y frecuencia negativa"

Cuando nosotros cerramos en el plano medio inferior de $t$ el contorno de la integral estaría en sentido de las manecillas del reloj, ocacionando que cada una de las evaluaciones de residuo sean negativas y conlleven a

$-2\pi i={\mbox{P.V.}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{t}}\;dt-\pi i.$ $-i={\mbox{P.V.}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\pi t}}\;dt$

Por lo tanto, la Tranformada de Fourier de $1/\pi t$ es

${\mathcal {F}}\left({\frac {1}{\pi t}}\right)=-i\operatorname {sgn}(\omega ).$

La aparición de la función $-i\operatorname {sgn}(\omega )$ puede parecer un poco misteriosa. Usando esta función, es la única manera de combinar los resultados de ambas integraciones en una expresión unificada. Cada integración define un resultado que solo es bueno en el respectivo plano medio donde existe la integral respectiva. La función $i\operatorname {sgn}(\omega )$ es de continuación analítica de estas dos integraciones. Esta función es válida para todos $\omega$ excepto posiblemente $\omega =0.$

Resultado Final

Por lo tanto, para esta opción de convención del signo exponencial de la transformada de Fourier

${\mathcal {H}}(f(t))={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }i\operatorname {sgn}(\omega ){\hat {f}}(\omega )e^{-i\omega t}\;d\omega .$

Este resultado esta sin el signo menos. Si tuviéramos que definir la transformada directa e inversa de Fourier con el signo del exponente contrario, entonces el resultado tendría un signo menos.