Impulso (δ(t))

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1. El límite de un pulso de área unitaria a medida que su ancho tiende a cero y su altura tiende a infinito. También llamado función de Dirac o función delta . Se simboliza por δ(t).

Matemáticamente la función delta de Dirac no es una función sino un objecto matemático de categoría diferente llamada distribución. La introducción de la función delta se atribuye al físico Paul A. M. Dirac, sin embargo, la necesidad de un objeto tal fue previamente aludida en la discusión de la cascada de transformadas de Fourier directa e inversa en Theorie de Chaleur por Joseph Fourier. La teoría matemática formal fue introducida por el matemático Laurent Schwartz. Otra alternativa para representar la función delta de Dirac es la función generalizada, como fue presentada por Lighthill, 1964.

2. Entre las propiedades fundamentales de la función delta de Dirac se incluye la propiedad de tamizado,

$\int _{-\infty }^{\infty }\phi (t)\delta (t-t_{0})\;dt=\phi (t_{0})$

implicando que $\delta (t-t_{0})$ solo tiene soporte a $t=t_{0}.$ La noción de soporte en este caso es la que los límites de integración deben contener el punto $t=t_{0}$ para que la integral no sea cero.

La función $\phi (t)$ se llama función de prueba y es cualquier función con tal de que la integral exista (i.e., que no crezca sin límite). La clase más general de estas funciones es llamada la $C_{0}^{\infty }$ las cuales son funciones infinitamente diferenciables y que se desvanecen suavemente al infinito.

3. La segunda propiedad de $\delta (t-t_{0})$ es que la integral sea unitaria

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-t_{0})\;dt=1.$

En efecto, la integral definida

$\int _{-\infty }^{t}\delta (\tau -t_{0})\;d\tau ={\begin{cases}0&{\text{if }}t<t_{0}\\1&{\text{if }}t>t_{0}\end{cases}}=H(t-t_{0})$

de forma que, la integral de la función delta es la función escalón de Heaviside. Similarmente, al lado contrario, la derivada de una función escalón es la función delta. De esta manera, las distribuciones extienden nuestra habilidad de definir diferenciación a casos en los cuales la derivada no está definida en forma clásica.

4. Mientras que frecuentemente aparece en textos de ingeniería y otros textos menos formales que el valor de la función delta tiene un valor infinito donde su argumento es cero, esto no es correcto, porque la función delta no tiene significado intrínseco fuera de su integración con una función de prueba.

Lo más correcto es considerar definir la función delta como el límite de una secuencia de funciones fuertemente puntiagudas las cuales tienen, en el límite, soporte en el valor deseado de $t_{0}$

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }S_{n}(t-t_{0})\;dt=1$

y el límite de la secuencia $\left\{S_{n}(t)\right\}$ debe exhibir la propiedad de desplazamiento

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }S_{n}(t-t_{0})\phi (t)\;dt=\phi (t_{0}).$

Existen muchas funciones $S_{n}(t-t_{0})$ que poseen esta propiedad, incluyendo funciones en las cuales el límite de la función no existe en $t=t_{0}.$

5. Podemos definir formalmente la derivada de la función delta (llamada delta prima) $\delta ^{\prime }(t-t_{0})$ vía integración por partes con una función de prueba

$\int _{-\infty }^{\infty }\phi (t)\delta ^{\prime }(t-t_{0})\;dt=\left.\phi (t)\right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\phi ^{\prime }(t)\delta (t-t_{0})\;dt=-\phi ^{\prime }(t_{0}),$

lo cual ocurre porque $\phi (t)=0$ en $\pm \infty .$

Derivadas más altas se definen integrando por partes sucesivamente.

Ver respuesta al impulso.

6. Un pulso con duración suficientemente corta en tiempo de manera que su forma de onda no sea de consecuencia.

7. Un impulso complejo δ^*(t) o función delta compleja se define como una señal analítica, con la construcción de la parte imaginaria a través de la transformada de Hilbert como

$\delta ^{*}(t)=\delta (t)+\left({\frac {i}{\pi }}\right)t$.

8. Ver Delta de Kroenecker.

Enlaces externos

find literature about Impulse (δ(t))/es