Transformada de Fourier

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F-19. La función de tiempo a la izquierda es la Transformada de Fourier de las funciones en frecuencia de la derecha y viceversa. Muchos otros pares podrían ser mostrados. Las de arriba son todas las funciones pares y por lo tanto tienen fase cero. Las transformadas para funciones impares reales son imaginarias,i.e., tienen un corrimiento de +π/2. las transformadas de aquellas funciones que no son ni pares ni impares implican variaciones de fase con la frecuencia. Nota "f"=1/"t".

Formula que convierte una función en tiempo g(t) (onda, traza sísmica, etc.) en su representación en el dominio de la frecuencia G(t) y viceversa. G(t) y g(t) constituyen un Par Transformada de Fourier; Ver Figura F-19 abajo. Un ejemplo es

La transformada inversa es

Obtener G(t) de g(t) se llama Análisis de Fourier y obtener g(t) de G(t) se llama Síntesis de Fourier. G(t) es el espectro complejo, la parte real transformada coseno y la parte imaginaria es la transformada seno cuando g(t) es real. Otra expresión para G(f) es

Donde las funciones A(f) e γ(f) son reales. Ellas son, el espectro de amplitud y el espectro de fase de g(t):

γ(f) está en el primer y segundo cuadrante si la parte imaginaria es positive, en el primer o cuarto cuadrante si la parte real es positiva. Puede asumirse que una traza h(t) que se extiende solamente de 0 a T puede ser repetida infinitamente y entonces expandida en una Serie de Fourier de periodo T:

donde

y

Las mismas reglas por cuadrantes aplican a γn como se ha expresado para γ(f); a0 es la componente a frecuencia cero (o corrimiento dc). El espectro de frecuencia es discreto si la función es periódica. Si ht es una serie de tiempo muestreada a intervalos de tiempo t2, luego podemos detener la suma cuando n>2T/t2 (ver teorema de muestreo). En ese caso an y bn se pueden expresar como la sumatoria:

y

También ver respuesta en fase y Transformada rápida de Fourier (FFT).

F-20. Equivalencia de operaciones de la transformada de Fourier. Realizar una operación de datos en tiempo es equivalente a realizar la operación en frecuencia. Nota: g(t)↔G(f) and h(t)↔H(f).

Operaciones en un dominio tienen su operación equivalente en el dominio trasformado (ver Figura F-20). Los cómputos pueden ser realizados de manera mas económica en un dominio que en el otro y la transformada de Fourier provee un medio para alcanzar esto. Las relaciones de la transformada de Fourier se pueden generalizar para mas de una dimensión (ver Figura F-21). Por ejemplo,

y

El factor 1/4π es algunas veces distribuido entre las dos integrales; donde los cálculos involucran un factor de escala arbitrario, el factor de 1/4π puede ser descartado enteramente.

La transformada de Fourier es discutida en [1]. Los teoremas relacionados con la transformada de Fourier son mostradas en la Figura F-22.


F-22. Teoremas de la Transformada de Fourier.

Notaciones y convenciones de signo

Las notaciones y convenciones de signo usadas arriba son comunes en el mundo de la ingeniería eléctrica. Sin embargo muchos geofísicos de exploración pueden estar familiarizados con las convenciones utilizadas por físicos y matemáticos. Estas difieren sutilmente de aquellas usadas arriba. Muchos geofísicos cuya educación puede ser en esos campos, o quienes toman esos resultados científicos de esos campos prefieren convenciones diferentes de aquellos de los ingenieros eléctricos. Así entonces, es importante incluir una breve discusión de estas convenciones.

Es mas común en el mundo de la matemática y física teórica para la en lugar de . Los ingenieros eléctricos prefieren el uso de la letra porque la letra se reserva para la corriente. Los matemáticos y la matemática física prefieren el uso de la frecuencia angular donde la unidades son en radianes por tiempo, en lugar de cliclos por tiempo. Esto significa que puede haber un factor de de discrepancia entre cálculos usando convenciones diferentes. Finalmente podría haber diferentes convenciones de signo sobre el exponente en las exponenciales en la definición de la transformada de Fourier. Debido a que las señales grabadas en espacio-tiempo son "causales", lo que significa que no hay arribos antes del tiempo la integral de la transformada temporal comenzará en en lugar de .


Transformada en 1D

Poniendo a todos ellos juntos, obtenemos una convención de notación común para la transformada de Fourier en tiempo como

y la transformada de Fourier "inversa"

La transformada de Fourier en 1D difiere de la transformada temporal en que la integración es sobre limites infinitos y el signo del exponente en el exponencial es negativo

y la transformada inversa de Fourier es similarmente diferente


Transformada en dimensiones espaciales

En dimensiones, la transformada espacial viene a ser

y la transformada inversa de Fourier es similarmente diferente

Aqui hemos usado la convencione que and


Transformada temporal en 1 y 3 dimensiones

En 3 dimensiones del espacio y en 1 dimension de tiempo, como puede encontrarse en los problemas relacionados con la ecuación de onda, tenemos la transformada de Fourier desde

y la correspondiente transformada inversa de Fourier

Aqui, and


Referencias

  1. Sheriff, R.E. y Geldart, L.P., 1995, Exploration Seismology, 2nd Ed., Cambridge Univ. Press.