Análisis de la traza compleja

Es encontrar la representación en número complejo $F(t)$ de una serie de tiempo real $f(t)$:

$F(t)=f(t)+if_{\perp }(t)=A(t)e^{i\phi (t)}$,

donde $f_{\perp }(t)$ es la es la serie en cuadratura, $A(t)$ es la amplitud de la envolvente de la traza (también llamada fuerza de la reflexión), y $\phi (t)$ es la fase instantánea. Despliegues de la fase instantánea (o coseno de la fase instantánea) muestra la continuidad de un evento. La frecuencia instantánea es $d\phi (t)/dt$. La frecuencia instantánea puede ser considerada como la frecuencia de la sinusoide compleja que localmente ajusta mejor a una traza compleja. Es empleado para determinar atributos sísmicos. En el dominio del espacio, "local" también se emplea en lugar de “instantáneo”. Ver Figura C-11 y Taner et al. (1979). Los análisis de traza compleja comúnmente involucran la transformada de Hilbert .

Fundamentos matemáticos del análisis de la traza compleja

La noción de una traza compleja o analítica comienza con el resultado más general de que cualquier función $F(z)={\mbox{Re }}F(z)+i{\mbox{Im }}F(z)$, donde math> z = x + i y </math> obedece la relación que (la cual se deriva de la fórmula integral de Cauchy) que Spiegel (1964) o Levinson y Redheffer (1970). señalan.

${\mbox{Im }}F(z)={\mathcal {H}}\left[{\mbox{Re }}F(z)\right]$

donde ${\mathcal {H}}$ es una operación conocida como la Transformada de Hilbert, en cualquier región donde $F(z)$ es una "Función analítica". ("Analítico" significa que la $dF/dz$ existe)

Amplitud instantánea

Podemos escribir (empleando la relación de Euler)

$F(z)=A(z)\exp(i\phi (z))=A(z)\left[\cos(\phi (z))+i\sin(\phi (z))\right]$

donde el módulo es

$A(z)={\sqrt {({\mbox{Re }}F(z))^{2}+i({\mbox{Im }}F(z))^{2}}}$

Fase instantánea

La fase es entonces, el arco tangente del cociente de las partes imaginaria y real

$\phi (z)=\arctan \left({\frac {{\mbox{Im }}F(z)}{{\mbox{Re }}F(z)}}\right)$.

Por lo tanto, la parte real de $F(z)$ es

${\mbox{Re }}F(z)=A(z)\cos(\phi (z))$

y la parte imaginaria es

${\mbox{Im }}F(z))=A(z)\sin(\phi (z))$.

La traza Compleja (o Analítica)

Consideremos ahora la función $z(t)$, donde $t$ incrementa monotónicamente. La función $z(t)$ describe una curva en el volumen $(x(t),y(t),t)$. Esta curva posee un solo valor en $t$ para este volumen, obteniendo así la siguiente parametrización

$F(z(t))=A(z(t))\left[\cos(\phi (z(t)))+i\sin(\phi (z(t)))\right]$

Porque $z(t)$ es un solo valor en $t$ dentro del volumen $(x,y,t)$ podemos escribir, sin pérdida de generalidad

$F(t)=A(t)\left[\cos(\phi (t))+i\sin(\phi (t))\right]$

la cual describe una hélice en el eje $t$, definida por $(0,0,t)$ en el volumen $(x,y,t)$.

Ahora afirmamos que nuestros datos registrados $f(t)$ son la parte real de esta traza compleja $F(t)$, por lo tanto:

$f(t)=A(t)\cos(\phi (t))$

y la parte imaginaria, o también llamada "traza en cuadratura" es

$f_{\perp }(t)=A(t)\sin(\phi (t))$.

El módulo de $A(t)$ es la "amplitud instantánea", también conocida como la "función envolvente" de $f(t)$. La función $\phi (t)$ es conocida como la "fase instantánea" de $f(t)$.

Frecuencia instantánea

Una "frecuencia instantánea" $\omega (t)$ puede ser definida como la velocidad de cambio de la fase instantánea $\phi (t)$

$\omega (t)={\frac {d\phi (t)}{dt}}$.

.

Computacionalmente, la fase instantánea $\phi$ calculada de este modo puede ser "envuelta", es decir, puede tener saltos hasta de $2\pi$, debido al hecho de que el cálculo numérico computacional de la función arcotangente está limitado para el rango principal $-\pi <\phi \leq \pi$.

Es preferible expresar la función arcotangente en su forma diferencial, para evitar problemas de envolvimiento de la fase

$\omega (t)={\frac {d\phi (t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mbox{Im }}F(t)}{{\mbox{Re }}F(t)}}\right)={\frac {({\mbox{Im }}F(t))^{\prime }\;({\mbox{Re }}F(t))-({\mbox{Im }}F(t))\;({\mbox{Re }}F(t))^{\prime }}{({\mbox{Re }}F(t))^{2}+({\mbox{Im }}F(t))^{2}}}$

donde reconocemos que el denominador es el cuadrado de la amplitud instantánea.

Esta formulación del análisis de la traza compleja, introducida a la comunidad geofísica por Taner, Koehler y Sheriff (1979) , ha encontrado una vasta aplicación en el procesamiento sísmico para la interpretación

Desde 1979, una colección de los llamados atributos sísmicos de traza han sido creados

Enlaces externos

find literature about Complex-trace analysis/es