Base matemática de la migración 3-D

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Seismic Data Analysis
Seismic-data-analysis.jpg
Series Investigations in Geophysics
Author Öz Yilmaz
DOI http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801580
ISBN ISBN 978-1-56080-094-1
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G.1 Métodos implícitos

La ecuación de onda escalar bidimensional (D-1) dada en la Sección D.1 se puede adaptar a tres dimensiones de la siguiente manera:


(G-1

)

Esta ecuación describe la propagación de un campo 3D de ondas compresionales P(x, y, z, t ) en un medio con densidad y velocidad de onda compresional v(x, y, z) constante, donde x es el eje horizontal en dirección paralela a la línea de fuentes, y es el eje espacial horizontal en dirección perpendicular, z es el eje de profundidad (positivo hacia abajo) y t representa el tiempo. Dado el campo de ondas sísmicas reflejadas P (x, y, z = 0, t), que se registran en la superficie, el objetivo es determinar la reflectividad P(x, y, z, t= 0). Esto requiere extrapolar el campo de ondas en superficie P(x, y, z = 0, t) a una profundidad z , P(x, y, z , t) en el instante t = 0: P(x, y, z , t=0)

La solución a la ecuación de onda escalares 2D (D-1) está dada por la ecuación (D-7), la cual puede ser adaptada para extrapolar un campo de ondas 3D (con distancia fuente a receptor igual a cero) a profundidad.


(G-2

)

donde


(G-3

)

con


(G-4a

)

y


(G-4b

)

En las ecuaciones (G-4a, G-4b), Kx y Ky son los números de onda en dirección paralela y perpendicular, respectivamente, y ω es la frecuencia temporal en unidades de radian por unidad de tiempo. Tenga en cuenta que los números de onda X y Y normalizados en línea y en línea recta se relacionan de acuerdo con la ecuación (G-3).

Primero, considere el caso donde el campo de velocidades es constante y reescriba la relación de dispersión de la ecuación (G-3) como para el caso 2-D (ecuación D-49a) y así obtener


(G-5)

donde ωτ =v*kz/2 es la frecuencia temporal de salida.

Suponga que realizamos una migración 2D en todas las líneas paralelas, asignando cada frecuencia de entrada ω a una frecuencia de salida ω1, por medio de la siguiente relación


(G-6)

Luego ordenamos las líneas paralelas ya migradas en la dirección transversal. Después, supongamos que realizamos la migración 2D de las líneas trasversales. Esta segunda migración se logra asignando ω1, de la ecuación (G-5), a una frecuencia de salida ω2, por medio de la siguiente relación.


(G-7)

Si reemplazamos la ecuación (G-7) en ( G-6 ), obtenemos


(G-8)

que es lo mismo que la ecuación (G-5). Esto significa que la migración 3-D se puede realizar en dos pasos: migración 2D en la dirección de las líneas paralelas, seguida de una migración 2D en la dirección de las líneas transversales. La derivación anterior de un operador de migración 3-D de 90 grados se basa en la suposición de velocidad constante.[1]

Matemáticamente, éste enfoque de dos pasos parte de la idea de separar completamente los operadores de migración en las direcciones paralela y trasversal.[2] Dicha separación es estrictamente válida para medios cuyo campo de velocidades es constante. Sin embargo, cuando las velocidades varían espacialmente, es necesario dividir los operadores paralelos de los trasversales (Figura 7.3-1).[2] Un tratamiento matemático riguroso de separación y división de dichos operadores de extrapolación se puede encontrar en el trabajo desarrollo por Brown.[3]

Para implementar separación o división, los números de onda paralelo Kx y transversal Ky, deben estar desacoplados, de acuerdo con la relación de dispersión 3-D (ecuación G-3). Por medio de la expansión de la raíz cuadrada de la serie Taylor, manteniendo solo los tres primeros términos, obtenemos la siguiente relación de dispersión de hasta 15 grados (Sección D.3)


(G-9

)

Cuando la componente de pendiente cruzada es cero (Y = 0), la ecuación (G-9) se reduce a su forma 2D (ecuación D-54). Los términos en línea y crossline de la ecuación (G-9) son separables cuando la velocidad varía lentamente en z o es independiente de x y y[3].

La respuesta al impulso del operador de migración 2-D de 15 grados, junto con su relación de dispersión, dada por la ecuación (D-42a), es una elipse (figura 4.3-1). La respuesta de impulso del operador de migración 3-D 15 grados con su relación de dispersión dada por la ecuación (G-9) es un elipsoide (figura 7.3-2). Excepto por las amplitudes, la sección transversal vertical en la línea central (51) es la misma que la respuesta al impulso 2D. Dentro del ancho de banda típico de los datos sísmicos, la respuesta al impulso 3D a 15 grados se aleja de la respuesta de impulso 3D ideal (un hemisferio hueco) para inclinaciones superiores a los 30 grados. Las franjas horarias de la respuesta de impulso para la ecuación (G-9) son de forma circular.

Problemas adicionales surgen cuando se requiere mayor precisión; los términos X e Y en la ecuación (G-3) ya no están desacoplados. Por ejemplo, la aproximación de 45 grados (Sección D.4) a la ecuación (G-3) introduce los términos cruzados. Otra aproximación es representar la raíz cuadrada única en la ecuación (G-3) por dos raíces cuadradas como [4]


(G-10

)

Tenga en cuenta que la ecuación ( G-10 ) tiene la misma forma que la ecuación (D-15). Por la expansión de la serie Taylor de las dos raíces cuadradas, la ecuación ( G-10 ) se reduce a la ecuación ( G-9 ). Suponiendo un pequeño componente de inmersión cruzada, se logra una mayor precisión en la dirección en línea haciendo la aproximación de 45 grados dada por


(G-11)

Cuando se requiere más precisión en ambas direcciones, se puede aplicar la expansión de 45 grados a la ecuación (G-10) en las direcciones paralela y perpendicular de la siguiente manera:


(G-12)
Figure G-1  An algorithmic description of one-pass implicit 3-D poststack migration based on 3-D wave extrapolation and imaging in the frequency-space domain (Section G.1).

La respuesta de impulso del operador de migración 2-D de 45 grados con su relación de dispersión dada por la ecuación (D-58) tiene forma de corazón (figura 4.3-1). La respuesta al impulso del operador de migración 3D de 45 grados, con la relación de dispersión dada por la ecuación ( G-12 ), se muestra en la figura 7.3-3. Excepto por las amplitudes, la sección transversal vertical en la línea central (51) es la misma que la respuesta de impulso 2D. Dentro del ancho de banda típico de los datos sísmicos, la respuesta al impulso 3D de 45 grados se aleja de la respuesta de impulso 3D ideal (un hemisferio hueco) en las caídas superiores a aproximadamente 65 grados. Los cortes de tiempo de la respuesta al impulso para la ecuación (G-12) tienen forma de diamante Tenga en cuenta que la respuesta es precisa tanto en las direcciones paralela como transversal, y que el mayor error que resulta de submigración ocurre en las dos direcciones diagonales.

En resumen, para implementar la separación o división, los términos paralelo y transversal del operador de migración 3D deben estar desacoplados. Esto se puede lograr haciendo aproximaciones racionales (ecuación G-9 o G-12) a la raíz cuadrada en la ecuación (G-3). La separación funciona para: 90 grados, a velocidad constante (es decir, migración Stolt) o hasta 15 grados para sutiles gradientes en la dirección vertical v(z). Cuando el gradiente vertical u lateral del campo de velocidades es drástico, el campo de velocidades se debe dividir. El algoritmo de una única pasada, para migración después del apilado en 3-D, de espacio-frecuencia implícita que utiliza el método de división, es idéntico al algoritmo 2D ilustrado en la figura 4.1-23, excepto por la aplicación adicional del término de difracción en la dirección de la línea transversal (figura G-1).


G.2 Métodos implícitos

Reescriba la ecuación (G-2) para extrapolar un campo de ondas 3D (con distancia fuente-receptor igual a cero) en pasos de profundidad discretos Δ z


(G-13a

)

Combine las ecuaciones (G-3) y (G-4) para expresar el número de onda vertical kz en términos de las otras variables de la siguiente manera:


(G-13b

)

donde, v es la velocidad de extrapolación.

Sustituya


(G-14

)

en la ecuación (G-13b), y obtenga


(G-15

)

Con el número de onda vertical kz dado por la ecuación (G-15), ahora escriba el operador de extrapolación deseado D(k), dado por el término exponencial en la ecuación (G-13a), para una relación igual a 2ω/v, así:


(G-16

)

En principio este operador puede transformarse de nuevo al dominio espacio-frecuencia, y así, la extrapolación descrita por la ecuación (G-13) puede obtenerse convolucionando el campo de ondas con el filtro de extrapolación en el dominio de espacio- frecuencia.

Aquí, describimos un esquema práctico que implica el diseño de un filtro de extrapolación estable 2D, el uso de la transformada McClellan para obtener un operador de extrapolación 3D sin calcular realmente un operador 3D, y reemplazando el operador de convolución (para la aplicación de filtro) por un esquema recursivo eficiente basado en los polinomios de Chebychev.[5] > [6]

Para ello empiece con el operador de extrapolación en el dominio de Fourier, dado por la ecuación (G-16). Para permitir variaciones laterales de velocidad, queremos calcular un filtro de extrapolación h_n en el dominio de espacio- frecuencia (ω, x, y) con una transformada de Fourier H(k=√(k_x^2+k_y^2 ),ω,v) que mejor se aproxima a la transformada deseada, descrita por la ecuación (G-16). Como D(k) es simétrica con respecto a k = 0, los coeficientes complejos del filtro h_n son pares de tal manera que 〖-h〗_(-n)=h_n h, y el número de coeficientes del filtro es impar 2N+1. Como resultado, solo necesitamos calcular N coefficientes. La transformada de Fourier real de h_n está dada por:


(G-17

)

Los métodos para obtener h_n de tal forma que la verdadera transformada de Fourier H (k) dada por la ecuación (G-17) se aproxima mucho a la transformada de Fourier real D (k), dada por la ecuación (G-16) y descrita por Holberg[7] y Hale[5]. El primero se basa en mínimos cuadrados y el segundo se basa en una serie modificada de Taylor. El método propuesto por Hale se describe en la Sección D.5. Dado que el espectro de amplitud deseado es |D(k)| = 1 para todo k, entonces requerimos que el espectro de amplitud real sea |H(k)| ≤ 1 para todo k. Esto asegurará que el operador sea estable, es decir, que las amplitudes del campo de ondas extrapolado no crecerán de un nivel de profundidad a otro.

SI usáramos un caso especial de la fórmula recursiva de los polinomios de Chebychev [34] , la ecuación (G-17) se podría reescribir en términos de cos(k) como


(G-18

)

de modo que H (k) se puede expresar completamente en términos de h_n y cos(k). Como resultado, la convolución con el filtro h_n puede realizarse mediante una estructura recursiva del filtro Chebychev descrita por Hale [34]. Esto es esencial para lograr una aplicación eficiente del filtro de extrapolación explícito 2D, ya que la convolución directa en dos dimensiones tiene un elevado costo computacional.

Tabla G-1. Coeficientes de filtro de McClellan asociados con la transformada de Fourier dada por la ecuación (G-20)..
1/8 1/4 1/8
1/4 −1/2 1/4
1/8 1/4 1/8

Para el diseño del operador explícito 3D, defina la transformada G (k) = cos(k) y observe de la ecuación (G-14) que


(G-19

)

Para mayor eficiencia computacional, G (kx, ky), dada por la ecuación (G-19), se puede aproximar como[6]:


(G-20

)

Esta aproximación es exacta para kx = 0 y ky = 0, bastante precisa para pequeños valores de kx y ky, e incrementalmente se deteriora a medida que kx y ky aumentan.

G(kx,ky) de la ecuación (G-20) es la transformada de Fourier del filtro de transformación McClellan 2D, dado por la Tabla G-1 en el dominio x-y, independientemente de ω y v.[6]

Utilizando los coeficientes de filtro McClellan dados por la Tabla G-1, el filtro de extrapolación 1D, h_n, se transforma en un filtro de extrapolación 2D con simetría aproximadamente circular.[6] De nuevo, a través de un filtro Chebychev, la aplicación de este filtro se realiza de manera más eficiente en comparación con la convolución directa. La respuesta al impulso del operador de migración explícito 3D, que utiliza la plantilla de transformación McClellan 3 × 3 de la Tabla G-1, se muestra en la figura 7.3-13.

La simetría circular del filtro de transformación McClellan se puede mejorar mediante otra aproximación de G (kx,ky) en la ecuación (G-19), propuesta por[6]


(G-21

)

donde c es un escalar que se ajusta para hacer que la transformada de Fourier del filtro 2D (basado en la transformada de McClellan) coincida exactamente con la transformada de Fourier deseada (ecuación G-16) para algún k=√(k_x^2+k_y^2 ). Un valor típico para c es 0.0255. G(kx,ky) en la ecuación (G-21) es la transformada de Fourier del filtro de transformación McClellan 2D dada por la Tabla G-2, en el dominio x- y, nuevamente, independientemente de ω y v .

Tabla G-2. Los coeficientes de filtro de McClellan asociados con la transformada de Fourier dada por la ecuación (G-21).
c/8 0 c/4 0 c/8
0 1/8 1/4 1/8 0
c/4 1/4 −(1 + c)/2 1/4 c/4
0 1/8 1/4 1/8 0
c/8 0 c/4 0 c/8

La respuesta al impulso del operador de migración explícita 3D, que utiliza la plantilla de transformación McClellan 5 × 5 de la Tabla G-2, se muestra en la figura 7.3-14.

Además de la transformada de McClellan, la simetría circular de la respuesta al impulso 3D también se puede lograr aplicando el término de corrección de Li[8] al campo de ondas extrapolado, intermitentemente a algunas profundidades. El objetivo es compensar los errores acumulados causados por las aproximaciones hechas al operador exacto de extrapolación 3-D dada por la ecuación (G-16). Li ideó un término de corrección, originalmente para compensar los errores causados por la forma de división de 45 grados de la relación de dispersión dada por la ecuación (G-12).[8] El error incurrido durante la extrapolación del campo de onda, usando un esquema implícito, surge de la diferencia entre la forma exacta de la relación de dispersión dada por la ecuación (G-13b) y una forma aproximada, como la dada por la ecuación (G-12).

Etgen y Nichols adaptaron más tarde la corrección de Li para compensar los errores causados por una aproximación hecha al operador explícito, dada por la ecuación (G-16).[9] El error incurrido durante la extrapolación de ondas usando un esquema explícito se puede atribuir a la diferencia entre la forma exacta del número de onda k dada por la ecuación (G-14) y una forma aproximada k ̂ como la dada por la ecuación (G-19)


(G-22

)

Donde G(kx,ky) es la forma aproximada dada por la ecuación ( G-21 ).

Escriba la ecuación (G-16), de acuerdo con la forma aproximada del número de onda k dado por la ecuación (G-22), como


(G-23)

Al utilizar la forma exacta (ecuación G-16) y aproximada (ecuación G-23) de los operadores de extrapolación, el error en la extrapolación acumulada, después de los intervalos de profundidad nΔz, viene dado por


(G-24)

Por lo tanto, el campo de onda extrapolado P(kx,ky,nΔz,ω) dado por la ecuación (G-13a) se compensa con los errores incurridos por la forma aproximada de G(kx,ky), dada por la ecuación (G-21), aplicando el conjugado de E(kx,ky,ω) de la ecuación (G-24) al campo de ondas extrapolado


(G-25

)

Siguiendo la corrección de Li adaptada a los esquemas explícitos, tan como se muestra en la ecuación (G-25), la extrapolación de onda se continúa con la forma aproximada dada en la ecuación G-23, hasta que se acumula más error.[9]


G.3 Migración de fase 3D

Comenzamos con la solución de la ecuación de ondas escalares tridimensionales para extrapolar un campo de ondas 3D P(x, y, z = 0, t), cuya distancia fuente-receptor es igual a cero, de acuerdo con la ecuación (G-2) en el dominio frecuencia-número de onda. También asumimos para el subsuelo un modelo estratificado horizontalmente, asociado con una función de velocidad v(z) que varía verticalmente. De acuerdo con la transformada inversa de Fourier (G-2), tenemos


(G-26

)

donde k z se define mediante la ecuación (G-13), adaptada al modelo de reflectores explosivos reemplazando v por v / 2.

El principio de generación de imágenes t = 0 se aplica a la ecuación (G-26) para obtener la sección migrada P(x, y, z, t = 0) como


(G-27

)

Esta es la ecuación para el método de cambio de fase adaptado a la migración 3D. La ecuación (G-27) implica la integración sobre la frecuencia y la transformada de Fourier inversa a lo largo de los ejes paralelo y transversal a cada profundidad.[10]


G.4 Migración de stolt 3D

Ahora consideramos el caso especial de velocidad constante v. Como se describe en la Sección D.7, Stolt ideó una técnica de migración que implica un mapeo eficiente en el dominio de Fourier desde la frecuencia temporal ω al número de onda vertical kz.[11] Para ello reescribimos la ecuación (G-13) y obtenemos una expresión explícita para ω, a continuación.


(G-28

)

Al mantener los números de onda horizontal kx y ky sin cambios y diferenciando, obtenemos


(G-29)

Ahora, si substituimos las ecuaciones (G-28) y (G-29) en la ecuación (G-27 ), obtenemos


(G-30)

Esta es la ecuación para la migración de Stolt 3D en un modelo de velocidad constante. Esto implica dos operaciones en el dominio f - k. Primero, la frecuencia temporal ω se mapea en el número de onda vertical kz, mediante la ecuación (G-28). Después, las amplitudes son escaladas por S:


(G-31)

que es equivalente al factor de oblicuidad asociado con la migración de Kirchhoff (Sección H.1).


G.5 Interpolación del seguimiento

En la Sección F.6 desarrollamos la teoría del filtro de predicción espacial. El objetivo en ese momento era atenuar el ruido aleatorio aplicando el filtro de predicción espacial a los datos en el dominio de espacio-espacio.[12]

Ahora, queremos diseñar un filtro de predicción complejo de Wiener para interpolar datos en el dominio del espacio. Para ello considere una sección CMP debidamente apilada P(x,t), donde x es el eje CMP y t es el eje temporal de desplazamiento cero en ambos sentidos. Después aplique la transformada de Fourier en la dirección t para descomponer este conjunto de datos 2D en sus componentes de frecuencia P (x,ω). Para cada componente de frecuencia defina una matriz compleja P: P (x,ω) en la dirección x. Específicamente, buscamos un filtro F: F (x), de tal manera que, cuando se aplica a la matriz de datos de entrada P: P ( x, ω ), produce una estimación de la matriz de entrada D: P(x+∆X/2,ω), en x+Δx/2, donde D es la matriz de salida deseada y Δx/2 es el retardo de predicción.[13]

El filtrado de predicción espacial se expresa mediante la siguiente relación convolucional


(G-32

)

donde Y (x) representa la salida real del filtrado de predicción. Considere la forma discreta de (G-32), con F(x) representada por el vector complejo F : (F0, F1, F2, ..., Fm-1) de longitud m, donde P(x,ω) representa el vector complejo P : (P0, P1, P2, ..., Pn-1) de longitud n y Y(x) el vector complejo Y : (Y0,Y1,Y2 , ...,Ym+n-1) de longitud (m+n-1). La ecuación (G-32) puede también expresarse en forma matricial:


(G-33

)

Para desarrollar la teoría para la interpolación de trazas utilizando filtros de predicción espacial, considere el caso especial de un filtro de predicción de un paso de tres puntos (F0, F1, F2) y una matriz de datos de entrada de seis puntos (P0, P1, P2, P3, P4, P5). También queremos especializar la matriz de salida Y(x) para que sea la misma matriz de entrada P(x) pero una unidad de distancia adelante, (P1, P2, P3, P4, P5). La ecuación (G-33) para este caso especial toma la forma:


(G-34

)

Aumente ahora el arreglo vectorial del lado derecho a la matriz en el lado izquierdo, para obtener


(G-35

)

Escriba explícitamente las ecuaciones asociadas con las filas 3, 4 y 5, las cuales contienen los tres coeficientes del filtro (F0, F1, F2), como


(G-36a

)


(G-36b

)


(G-36c

)

Luego, divida cada una de estas tres ecuaciones en dos partes: la primera parte tiene términos que contienen los elementos del conjunto de datos (P0, P2, P4) y la segunda parte tiene términos que contienen los elementos del conjunto de datos (P1, P3, P5). Luego, las dos partes se escriben forma matricial:


(G-37

)

Esta ecuación sugiere que con base en el filtro de predicción (F0, F1, F2), el vector de datos (P1, P3, P5) se puede calcular a partir del vector de datos (P0, P2, P4). El vector de datos conocido (P0, P2, P4) está asociado con tres trazas consecutivas en un arreglo CMP de datos apilados. El vector desconocido a calcular (P1, P3, P5) se asociaría con las trazas a medio camino entre las trazas que corresponden al vector de datos conocido (P0, P2, P4). Por lo tanto, observamos que la ecuación (G-37) se puede usar para realizar la interpolación espacial.

Si escribimos la ecuación (G-37) en notación matricial:


(G-38

)

donde Fd y Fu son las matrices de coeficientes con sus elementos en función de los coeficientes del filtro de predicción (F0, F1, F2) y Pd: (P0, P2, P4) y Pu: (P1, P3, P5) son la matriz de datos de entrada conocida y la matriz de datos interpolados, respectivamente.

La ecuación (G-38) tiene la forma d '= Lu similar un problema inverso lineal generalizado (Sección F.3). La solución de mínimos cuadrados u=〖(L^T L)〗^(-1) L^Td se adopta para el conjunto de datos interpolados Pu. En este caso, la matriz L corresponde a Fu, y la matriz d corresponde a Fd*Pd, de modo que


(G-39

)

donde T denota la matriz transpuesta y el asterisco el conjugado complejo.

La pregunta sigue siendo cómo calcular el filtro de predicción a partir de los datos conocidos (P0,P2,P4). Para ello supongamos que el conjunto de datos de entrada está compuesto por M trazas que comprenden un conjunto de N eventos de buzamiento, representados por el siguiente espectro de amplitud y fase en el dominio del espacio-frecuencia:[13]


(G-40

)

donde Aj(ω) es el espectro de amplitud del j-ésimo evento buzante, Δτj es la variación de tiempo a lo largo del evento de traza a traza y k es el índice de la traza. Defina


(G-41

)

De tal manera que la ecuación (G-40) toma la forma


(G-42

)

donde la variable ω se omite por conveniencia.

Ahora, dado el conjunto de datos (P0, P2, P4) y el filtro de predicción de un paso (F0, F1, F2), el objetivo es calcular el siguiente elemento del vector de datos P6. Con base en la ecuación (G-36a) reemplace los elementos del vector de datos (P0, P1, P2) con los elementos del vector de datos (P0, P2, P4) Además, reemplace el siguiente elemento P3 de la matriz de datos (P0, P1, P2) con el siguiente elemento P6 de la matriz de datos (P0, P2, P4) para obtener


(G-43

)

Escriba esta ecuación usando la forma dada por la ecuación (G-42)


(G-44

)

Considere un caso de tres eventos de buzamiento. Establezca N = 3 en la ecuación (G-44) para obtener


(G-45a

)


(G-45b

)


(G-45c

)

el cual se puede escribir en forma matricial, incorporarando explícitamente la variable ω, de la siguiente manera[14]


(G-46

)

La ecuación (G-46) se puede resolver para el filtro de predicción (F0, F1, F2) para cada componente de frecuencia del conjunto de datos de entrada (P0, P2, P4). Este filtro, cuando es aplicado al vector de datos, produce el siguiente elemento P6 (ecuación G-43). Sin embargo, nosotros necesitamos un filtro que (P1, P3, P5.)- Los elementos intermedios del vector de datos (P0, P2, P4, ...), equivalente a la salida de la interpolación.

Para acelerar la determinación de este filtro de interpolación, obtenga el filtro de predicción (F0, F1, F2) asociado con el vector de datos que se habría creado por interpolación, (P0, P1, P2). Escriba la ecuación (G-43) para el caso del vector de datos (P0, P1, P2) para calcular el siguiente elemento P3 usando el filtro de predicción de un paso (F'0, F '1, F '2) como


(G-47

)

Escriba esta ecuación usando la forma dada por la ecuación (G-42)


(G-48)

Para el caso de tres eventos de buzamiento, establecemos N = 3 en la ecuación (G-48) y obtenemos


(G-49a

)


(G-49b

)


(G-49c

)

que puede escribirse en forma de matriz, mientras se incorpora explícitamente la variable ω,


(G-50

)

Ahora, observe de la definición expresada en la ecuación (G-41) que


(G-51

)

Con esta definición, vuelva a escribir la ecuación matricial (G-50) como


(G-52

)

Además, rescriba la ecuación (G-46) explícitamente en términos de ω / 2 como


(G-53

)

Finalmente, compare las ecuaciones (G-52) y (G-53) y tenga en cuenta que el filtro de predicción [F'0(ω),F'1(ω),F'2(ω)] que necesitamos para hacer la interpolación entre trazas, del componente de datos con frecuencia ω, en realidad es el filtro de predicción [F0(ω/2),F1(ω/2),F2(ω/2)] que se calcula directamente a partir del componente de datos no interpolados con la mitad de la frecuencia ω/2.

Figure G-2  Figura G-2 Geometría de Rayos para la ecuación de desplazamiento 3D (G-59) con distanciamiento fuente-receptor igual a cero, derivada en la Sección G.6.


G.6 ecuación del tiempo se propagación 3D en geometrías con distancia fuente-receptor diferente de cero

Consulte la geometría 3D del rayo de luz que se muestra en la Figura G-2. Por conveniencia, considere un registro 3D paralelo a la dirección x, con Angulo azimut entre fuente y receptor igual a cero. Específicamente, considere un punto medio M: (x, y, 0) en la línea transversal y, que esté asociado con una fuente S: (x - h, y, 0) y un receptor R: (x + h, y, 0), donde h es la mitad del desplazamiento. La distancia a lo largo de la trayectoria del rayo SD desde la fuente S: (x-h, y , 0) hasta un punto D(0, 0, z) en el subsuelo está dada por


(G-54a

)

y la distancia a lo largo del camino de la trayectoria del rayo DR desde el punto D: (0, 0, z) hasta un receptor R: (x+h, y, 0), está dada por


(G-54b

)

El tiempo de viaje t asociado con la trayectoria de viaje SDR está dado por


(G-55

)

donde v es la velocidad media.

Mostraremos que la ecuación (G-55) representa un elipsoide (Figura G-2b). Si elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado, obtenemos:


(G-56

)

Ahora combine el segundo y tercer término del lado derecho y simplifique los términos dentro de la raíz cuadrada


(G-57

)

Realice una manipulación algebraica adicional para recopilar los términos en x, y, z


(G-58

)

Finalmente, normalice los términos en el lado derecho y reordene los términos en los denominadores para obtener


(G-59

)

La ecuación (G-59) representa un elipsoide. La sección transversal horizontal de este elipsoide a una profundidad z es una elipse. En z = 0, la elipse tiene los siguientes parámetros:

  1. Eje semi-mayor en la dirección paralela x a la línea: a = vt/2.
  2. Eje semi-menor en la dirección perpendicular y a la línea: .
  3. Distancia desde el centro a cualquiera de los focos: .

El elipsoide de la ecuación (G-59) en el volumen x - y - z describe la cinemática de la respuesta al impulso de un operador de migración 3D (con distanciamiento fuente-receptor diferente de cero) aplicado a un conjunto de datos 3D previamente apilados.

Cuando la ecuación (G-59) se adapta al caso, h = 0, obtenemos.


(G-60a

)

Donde h es la distancia fuente-receptor. Esta ecuación describe un hemisferio hueco en el volumen (x, y, z) para una constante t con un radio vt/2. Este hemisferio representa la cinemática de la respuesta al impulso de un operador de migración 3D (con distanciamiento fuente-receptor igual a cero) aplicado a datos 3D previamente apilados.

Cuando la ecuación (G-55) se adapta al caso, h = 0, obtenemos


(G-60b

)

que describe la hiperboloide de difracción de revolución en el volumen (x,y,t) para una constante z.[15] [16] [17]


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References

  1. Jacubowicz and Levin (1983), Jakubowicz, H. and Levin, S., 1983, A simple exact method of 3-D migration — theory: Geophys. Prosp., 31, 34–56.
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  5. 5.0 5.1 Hale, 1991a, Hale, D., 1991a, Stable explicit depth extrapolation of seismic wavefields: Geophysics, 56, 1770-1777.
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  13. 13.0 13.1 Spitz, 1991, Spitz, S., 1991, Seismic trace interpolation in the f − x domain: Geophysics, 56, 785–794.
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  15. Berkhout, A. J., 1985, 3-D seismic processing with an eye to the future: World Oil, 201, No. 5, 91–94.
  16. Biondi, B., Fomel, S., and Chemingui, N., 1998, Azimuth moveout for 3-D prestack imaging: Geophysics, 63, 574–588.
  17. Chemingui, N. and Biondi, B., 1997, Equalization of irregular data by iterative inversion: 67th Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts, 1115–1118.


See also


External links

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