Ecuaciones de Zoeppritz

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Diagrama mostrando los modos de conversión que ocurren cuando la onda P se refleja en una interface a un ángulo de incidencia no normal

En geofísica y sismología de reflexión, las ecuaciones de Zoeppritz son un conjunto de ecuaciones que describen la partición de energía de onda sísmica en una interface, típicamente un límite entre dos capas diferentes de roca. Llevan el nombre de su autor, el geofísico alemán Karl Bernhard Zoeppritz, quien murió antes de que fuesen publicadas en 1919.[1]

Las ecuaciones son importantes en geofísica porque relacionan la amplitud de onda-P, incidente sobre una interface plana, y la amplitud de ondas P y S reflejadas y refractadas al ángulo de incidencia[2]. Son la base para investigar los factores que afectan la amplitud de una onda sísmica de regreso cuando el ángulo de incidencia es alterado – también conocido como análisis de amplitud versus desplazamiento – que es una técnica útil en la detección de yacimientos petroleros.

Las ecuaciones de Zoeppritz no fueron las primeras en describir las amplitudes de ondas reflejadas y refractadas en una interface plana. Cargill Gilston Knott usó un enfoque en términos de potenciales casi 30 años antes, en 1899, para derivar las ecuaciones de Knott. Ambos enfoques son válidos y el enfoque de Zoeppritz es más fácilmente entendible[2].


Ecuaciones

Hay 4 ecuaciones con 4 incógnitas y aunque pueden ser resueltas, no dan un entendimiento intuitivo para cómo las amplitudes de reflexión varían con las propiedades de roca involucradas (densidad, velocidad, etc.)[3]. Se han hecho varios intentos para desarrollar aproximaciones a las ecuaciones de Zoeppritz, tal como las de Bortfeld (1961), y Aki y Richards (1980)[4], pero la más exitosa de estas es la de Shuey, que supone que la relación de Poisson es la propiedad elástica más directamente relacionada a la dependencia angular del coeficiente de reflexión.


Ecuación de Shuey

La ecuación de 3 términos de Shuey puede ser escrita en un número de formas, la siguiente es una forma común[5]:

donde

y

 ;

donde =ángulo de incidencia; = velocidad de onda P en el medio; = contraste de velocidad de onda P a través de la interface; = velocidad de onda S en el medio; = contraste de velocidad de onda S a través de la interface; = densidad en el medio; = contraste de densidad a través de la interface;

Una mejor aproximación propuesta de las ecuaciones de Zoeppritz es:

y

En la ecuación de Shuey, R(0) es el coeficiente de reflexión a incidencia normal y es controlado por el contraste en impedancias acústicas. G, comúnmente referido como el gradiente AVO, describe la variación de amplitudes de reflexión en desplazamientos intermedios, y el tercer término, F, describe el comportamiento a grandes ángulos/desplazamientos lejanos que están cerca al ángulo crítico. Esta ecuación puede ser simplificada aún más asumiendo que el ángulo de incidencia es menor que 30 grados (i.e. el desplazamiento es relativamente pequeño), tal que el tercer término tenderá a cero. Este es el caso en la mayoría de los levantamientos sísmicos y da la “aproximación de Shuey”:


Del Diccionario Sheriff

(zō' pritz) Las ecuaciones Zoeppritz expresan la partición de energía cuando una onda plana impacta sobre un contraste de impedancia acústica. En el caso general de una interface entre dos sólidos donde el ángulo de incidencia no es cero, cuatro ondas son generadas: ondas P y S reflejadas, y ondas P y S transmitidas. La partición de energía entre éstas es hallada por cuatro condiciones de borde que requieren continuidad de desplazamiento y esfuerzo normal y tangencial. Usando los símbolos dados en la Figura S-12, La ley de Snell afirma

y esto define todos los ángulos. Para una onda P plana incidente de amplitud unitaria, las condiciones de continuidad producen las cuatro ecuaciones de Zoeppritz mostradas aquí:

donde Zi = ρiVPi, Wi = ρiVSi, and RP, RS, TP, y TS son las amplitudes de las ondas P y S reflejadas y de las ondas P y S transmitidas, respectivamente. Sin embargo, su derivación no considera ondas de primer arribo, y por lo tanto no producen valores confiables en y más allá del ángulo crítico.

La Figura Z-1 también muestra la variación de energía con ángulo para varios conjuntos de parámetros. Más allá del ángulo crítico para ondas P y S, las ondas refractadas respectivas se desvanecen. El aumento en energía de reflexión cerca del ángulo crítico es a veces referido como el fenómeno de ángulo amplio y es a veces explotado en levantamientos sísmicos. Las mismas relaciones en términos de potenciales son llamadas las ecuaciones de Knott. Debido a que ninguna provisión fue hecha en la derivación de las ecuaciones para las ondas de primer arribo, estas ecuaciones no producen amplitudes de la onda de primer arribo o sus valores correctos más allá del ángulo crítico.


Véase también


Lectura complementaria

Una derivación completa de estas ecuaciones puede ser encontrada en la mayoría de los libros de geofísica de exploración, tal como: *Sheriff, R. E., Geldart, L. P., (1995), 2da Edición. Exploration Seismology. Cambridge University Press.


Referencias

  1. Zoeppritz, Karl (1919). Erdbebenwellen VII. VIIb. Über Reflexion und Durchgang seismischer Wellen durch Unstetigkeitsflächen. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 66-84.
  2. 2.0 2.1 Sheriff, R. E., Geldart, L. P., (1995), 2nd Edition. Exploration Seismology. Cambridge University Press.
  3. Shuey, R. T. (April 1985). "A simplification of the Zoeppritz equations". Geophysics 50 (9): 609–614. doi:10.1190/1.1441936.
  4. Aki, K. and Richards, P. G., 1980, Quantitative seismology: Theory and methods, v.1 : W.H. Freeman and Co.
  5. Avesth, P, T Mukerji and G Mavko (2005). Quantitative seismic interpretation. Cambridge University Press, Cambridge, UK