Ecuación de onda

Es una ecuación que relaciona la dependencia espacial y temporal, de una perturbación que se puede propagar como onda. En coordenadas rectangulares x, y, z, es

$\nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=\left({\frac {1}{V^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$,

donde $\psi$ representa el desplazamiento de ondas (presión, rotación, dilatación, etc.) y V la velocidad de la onda. Las funciones $f(lx+my+nz\pm Vt)$ son soluciones para esta ecuación.

En coordenadas esféricas, donde r es el radio, $\theta$ la co-latitud, y $\phi$ la longitud, la ecuación de ondas se convierte en:

$\left({\frac {1}{V^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)\left[\left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)\left(r^{2}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)+\left({\frac {1}{sin{\theta }}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\left(sin{\theta }{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)+\left({\frac {1}{sin^{2}{\theta }}}\right){\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \phi ^{2}}}\right]$

Las precedentes son formas de la ecuación de ondas escalar. Estas formas no proveen la conversión de Ondas P a Ondas S, ni viceversa.

La ecuación de ondas vectorial es más general; es:

$\left(2\mu +\lambda \right)\nabla (\nabla \cdot \psi )-\mu \nabla \times (\nabla \times \psi )=\rho {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$,

la cual puede ser escrita en forma de componentes como:

$\mu \nabla ^{2}\Psi _{x}+(\mu +\lambda ){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \Psi _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \Psi _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \Psi _{z}}{\partial z}}\right)=\rho {\frac {\partial ^{2}\Psi _{x}}{\partial t^{2}}}$.

Si $\nabla \cdot \Psi =0$, esto da una Onda S; si $\nabla \times \Psi =0$, una Onda P. La ecuación de Onda en un medio anisótropo polar (isótropo transverso) está dada en la Figura T-13.