Isotropía transversal

También llamada polar o anisotropía azimutal, ver Figura T-13. Implica propiedades elásticas que son las mismas en cualquier dirección perpendicular a un eje de simetría y tiene cinco constantes elásticas independientes. Esta simetría es como un cristal que tiene simetría hexagonal; ver la Figura S-29.

FIG. S-29. Sistemas de simetría.

La estratificación y el fracturamiento paralelo tienden a producir isotropía transversal. Una secuencia de capas isótropas (como la sedimentación estratificada) produce anisotropía de capa fina (también llamada de anisotropía de capa fina periódica), aunque las capas no necesitan ser periódicas para longitudes de onda que son apreciablemente mayores que los espesores de las capas. El eje de simetría es perpendicular a la estratificación y las velocidades de ondas P y SH paralelas a la estratificación son mayores que las velocidades perpendiculares a la estratificación. La velocidad paralela a la estratificación es mayor porque los miembros de mayor velocidad llevan la primera energía, mientras que en las mediciones perpendiculares a la estratificación todos los miembros contribuyen proporcionalmente al tiempo usado para recorrer sus espesores. La superposición isótropa paralela en la que hay más de ocho capas por longitud de onda se comporta como un medio transversalmente isótropo.

Diaclasamiento casi-vertical/fractura/microgrietas (anisotropía azimutal, algunas veces llamada anisotropía de dilatación extensa, EDA) tiende a tener un eje horizontal de simetría perpendicular a la fractura y la velocidad de las ondas que son polarizadas paralelas a la fractura es mayor que para las perpendiculares a la fractura. El eje de simetría puede estar inclinado. Esta situación está involucrada en el (el fraccionamiento de la onda de cizalla) (ver) o birrefringencia sísmica.

Estratificación horizontal fracturada verticalmente puede producir simetría ortorrómbica (simetría de ladrillo) donde la velocidad es diferente a lo largo de los tres ejes de simetría ortogonales. Esta situación implica nueve constantes elásticas independientes y conduce a la división de la onda S en las tres direcciones.

Con un eje de simetría vertical, las ondas puras S y P solo pueden existir en ciertas direcciones. Los frentes de ondas SH son de forma elipsoidal (anisotropía elíptica, ver; ver la Figura A-10c) y los modos de propagación SV y P están acoplados con frentes de onda que por lo general no son ortogonales a las direcciones de propagación de ondas. La velocidad de propagación de fase es la velocidad perpendicular a una superficie de fase constante (frente de onda) y la velocidad del rayo (en la dirección del transporte de energía, también llamada velocidad del grupo) no es generalmente en la misma dirección que la velocidad de propagación de fase, la fase y las velocidades del rayo (ver la Figura A-14a). El recíproco de la velocidad de propagación de fase, también una cantidad vectorial, es llamado lentitud. Las superficies para los frentes de onda SV pueden tener cúspides.

Isotropía transversal en geofísica

En la geofísica, una suposición común es que las formaciones de roca de la corteza son localmente anisótropo polar (transversalmente isótropas); Este es el caso más simple de interés geofísico. El escalamiento hacia arriba de Backus es frecuentemente usado para determinar las constantes elásticas efectivas transversalmente isótropas de los medios estratificados para ondas sísmicas de longitud de onda larga.

Las suposiciones hechas en la aproximación Backus son:

• Todos los materiales son linealmente elásticos
• No fuentes de disipación de energía intrínseca (es decir, fricción)
• Válido en el límite de longitud de onda infinito, donde se dan buenos resultados solamente si el espesor de la capa es mucho menor que la longitud de onda
• Las estadísticas de distribución de las propiedades de capas elásticas son estacionarias, es decir, no hay una tendencia de correlación en estas propiedades

Para longitud de onda más corto, el comportamiento de las ondas sísmicas se describe usando la superposición del planos de onda. Los medios transversalmente isótropos permiten tres tipos de ondas planas elásticas:

• una cuasi-onda P (polarización dirección casi igual a la dirección de propagación)
• una cuasi-onda S
• una onda S (ortogonal polarizada a la cuasi onda S, al eje de simetría, y a la dirección de propagación).

Las soluciones a los problemas de la propagación de ondas en estos medios se puede construir a partir de estos planos de onda, usando síntesis de Fourier.

Escalamiento Backus (aproximación de la longitud de onda larga)

Un modelo estratificado de material homogéneo e isótropo, puede ser escalonado a un medio isótropo transversal por Backus.

Backus presenta una teoría de medio equivalente, un medio heterogéneo puede ser reemplazado por uno homogéneo el cual predice la propagación de la onda en el medio actual. Backus demostró que estratificar a escala mucho más fina que la longitud de onda tiene un impacto y por lo tanto un número de capas isótropas pueden ser reemplazadas por un medio transversalmente isótropo y homogéneo que se comporta exactamente de la misma manera que un medio actual bajo una carga estática en el límite de longitud de onda infinito.

Si cada capa $i$ se describe por 5 parámetros transversalmente isótropo $(a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})$, especificando la matriz

${\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}$

El módulo elástico para el medio efectivo sería

${\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}$

donde

${\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}$

$\langle \cdot \rangle$ denota el promedio del peso volumétrico de todas las capas.

esto incluye capas isótropas, como la capa es isótropa si $b_{i}=a_{i}-2e_{i}$, $a_{i}=c_{i}$ y $d_{i}=e_{i}$.

Aproximación de la longitud de onda corta y media

Las soluciones a los problemas de la propagación de ondas en un medio transversalmente isótropo lineal elástico se puede construir por la superposición de soluciones para la onda cuasi-P, la onda cuasi-S y la onda S polarizada ortogonal a la onda cuasi-S. Sin embargo, las ecuaciones para la variación angular de la velocidad son complejas algebraicamente y las velocidades del plano de onda son funciones del ángulo de propagación $\theta$ son. La dirección dependiente velocidades de onda para ondas elásticas a través de un material se puede hallar usando ecuación de Christoffel y son dadas por

${\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}$

donde ${\begin{aligned}\theta \end{aligned}}$ es el ángulo entre el eje de simetría y la dirección de propagación de la onda, $\rho$ es la densidad de masa y $C_{ij}$ son elementos de la matriz de tensión elástica. Los parámetros de Thomsen se usan para simplificar estas expresiones y hacerlas fáciles de entender.

Parámetros de Thomsen

Los parámetros de Thomsen areson combinaciones adimensionales de módulo elástico los cuales caracterizan materiales transversalmente isótropos , que se encuentran, por ejemplo, en geofísica. En términos de los componentes de la matriz de rigidez elástica, estos parámetros se definen por:

${\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}$

donde el índice 3 indica el eje de simetría ($\mathbf {e} _{3}$) . Estos parámetros, en conjunto con las velocidades de la onda P y S asociadas, se pueden usar para caracterizar la propagación de la onda a través de capas débilmente anisótropas. Empíricamente se encuentra que, para la mayoría de las formaciones rocosas estratificadas, los parámetros de Thomsen usualmente son mucho menor de 1.

El nombre se refiere a Leon Thomsen, profesor de geofísica de la Universidad de Houston, quien propuso estos parámetros en su manuscrito de 1986 "Weak Elastic Anisotropy".

Expresiones simplificadas para velocidades de onda

En geofísica, la anisotropía de las propiedades elásticas, es usualmente débil, en cuyo caso $\delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1$. Cuando las expresiones exactas de las velocidades de onda mencionadas arriba, se hacen lineales en estas pequeñas cantidades, se simplifican a

${\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}$

donde

$V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}$

son las velocidades de las ondas P y S en la dirección del eje de simetría ($\mathbf {e} _{3}$) (en geofísica, esto es común, pero no siempre, en la dirección vertical). Note que el $\delta$ se puede hacer lineal posteriormente, pero esto no conlleva a una simplificación.

Las expresiones aproximadas de las velocidades de onda son lo suficientemente simples para ser físicamente interpretadas, y lo suficientemente exactas para la mayoría de las aplicaciones geofísicas. Estas expresiones también son útiles en algunos contextos en que la anisotropía no sea débil.

Ver también

• parámetros anisótropos de Thomsen
• isotropía transversal en Wikipedia

Vínculos externos

find literature about Transverse isotropy/es