غير متباينة الخواص عرضيا

ويسمى أيضًا تباين الخواص القطبية أو السمتي؛ انظر الشكل T-13. يتضمن خصائص مرنة هي نفسها في أي اتجاه عمودي على محور التناظر ولها خمسة ثوابت مرنة مستقلة؛ انظر معاملات متباينة الخواص تومسن. هذا التناظر يشبه بلورة لها تناظر سداسي؛ انظر الشكل S-29.

يميل التكسير الطبقي والمتوازي إلى إنتاج توحد الخواص المستعرضة. ينتج عن سلسلة من طبقات توحد الخواص (مثل الطبقات الرسوبية) تباين خواص طبقة رقيقة (تسمى أيضًا طبقة رقيقة دورية PTL)، على الرغم من أن الطبقات لا يلزم أن تكون دورية) للأطوال الموجية التي تكون أكبر بشكل ملحوظ من سماكة الطبقة. يكون محور التناظر عموديًا على الطبقات حيث تكون سرعات موجات P و SH الموازية للطبقات أكبر من تلك المتعامدة مع الطبقات. تكون السرعة الموازية للطبقات أكبر لأن الطبقات ذات السرعة العالية تحمل الطاقة الأولى بينما في القياسات العمودية على الطبقات، تساهم جميع الطبقات بشكل متناسب مع الوقت المستغرق لاجتياز سمكهم. الطبقات موحدة الخواص المتوازية حيث يوجد أكثر من ثماني طبقات أو نحو ذلك لكل طول موجي تتصرف كوسط متباين الخواص المستعرضة.

يميل التوصيل/التكسير/الشقوق الدقيقة (التباين السمتي، الذي يُسمى أحيانًا تباين خواص الاتساع الواسع، EDA) إلى امتلاك محور تناظر أفقي عمودي على التكسير وتكون سرعة الموجات المستقطبة الموازية للكسور أكبر من تلك العمودية على الكسور. قد يكون محور التناظر مائلاً. يشارك هذا الموقف في تقسيم موجة القص (انظر التعريف) أو الانكسار.

قد ينتج عن الطبقات الأفقية المتكسرة عموديًا تناظرًا متعامدًا (تناظرًا للطوب) حيث تختلف السرعة على طول محاور التناظر المتعامدة الثلاثة. يتضمن هذا الموقف تسعة ثوابت مرنة مستقلة ويؤدي إلى انقسام مختلف للموجة S في الاتجاهات الثلاثة.

مع محور التناظر العمودي، قد توجد موجات S و P نقية في اتجاهات معينة فقط. مقدمة الموجة SH هي شكل بيضاوي الشكل (تباين خواص بيضاوي الشكل، انظر التعريف؛ انظر الشكل A10c) وتقترن أنماط الانتشار SV و P مع مقدمة الموجات التي لا تتعامد بشكل عام مع اتجاهات انتشار الموجة. سرعة الطور هي السرعة المتعامدة مع سطح الطور الثابت (مقدمة الموجة) وسرعة الشعاع (في اتجاه نقل الطاقة، وتسمى أيضًا سرعة المجموعة) ليست عمومًا في نفس اتجاه سرعة الطور، واختلاف سرعات الطور والأشعة (انظر الشكل A-14a). مقلوب سرعة الطور، وهو أيضًا كمية متجهة، يُطلق على البطء. قد تحتوي أسطح مقدمات SV-wave على شرفات.

Transverse isotropy in geophysics

In geophysics, a common assumption is that the rock formations of the crust are locally polar anisotropic (transversely isotropic); this is the simplest case of geophysical interest. Backus upscaling is often used to determine the effective transversely isotropic elastic constants of layered media for long wavelength seismic waves.

Assumptions that are made in the Backus approximation are:

• All materials are linearly elastic
• No sources of intrinsic energy dissipation (e.g. friction)
• Valid in the infinite wavelength limit, hence good results only if layer thickness is much smaller than wavelength
• The statistics of distribution of layer elastic properties are stationary, i.e., there is no correlated trend in these properties.

For shorter wavelengths, the behavior of seismic waves is described using the superposition of plane waves. Transversely isotropic media support three types of elastic plane waves:

• a quasi-P wave (polarization direction almost equal to propagation direction)
• a quasi-S wave
• a S-wave (polarized orthogonal to the quasi-S wave, to the symmetry axis, and to the direction of propagation).

Solutions to wave propagation problems in such media may be constructed from these plane waves, using Fourier synthesis.

Backus upscaling (Long wavelength approximation)

A layered model of homogeneous and isotropic material, can be up-scaled to a transverse isotropic medium, proposed by Backus.

Backus presented an equivalent medium theory, a heterogeneous medium can be replaced by a homogeneous one which will predict the wave propagation in the actual medium. Backus showed that layering on a scale much finer than the wavelength has an impact and that a number of isotropic layers can be replaced by a homogeneous transversely isotropic medium that behaves exactly in the same manner as the actual medium under static load in the infinite wavelength limit.

If each layer $i$ is described by 5 transversely isotropic parameters $(a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})$, specifying the matrix

${\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}$

The elastic moduli for the effective medium will be

${\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}$

where

${\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}$

$\langle \cdot \rangle$ denotes the volume weighted average over all layers.

This includes isotropic layers, as the layer is isotropic if $b_{i}=a_{i}-2e_{i}$, $a_{i}=c_{i}$ and $d_{i}=e_{i}$.

Short and medium wavelength approximation

Solutions to wave propagation problems in linear elastic transversely isotropic media can be constructed by superposing solutions for the quasi-P wave, the quasi S-wave, and a S-wave polarized orthogonal to the quasi S-wave. However, the equations for the angular variation of velocity are algebraically complex and the plane-wave velocities are functions of the propagation angle $\theta$ are. The direction dependent wave speeds for elastic waves through the material can be found by using the Christoffel equation and are given by

${\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}$

where ${\begin{aligned}\theta \end{aligned}}$ is the angle between the axis of symmetry and the wave propagation direction, $\rho$ is mass density and the $C_{ij}$ are elements of the elastic stiffness matrix. The Thomsen parameters are used to simplify these expressions and make them easier to understand.

Thomsen parameters

Thomsen parameters are dimensionless combinations of elastic moduli which characterize transversely isotropic materials, that are encountered, for example, in geophysics. In terms of the components of the elastic stiffness matrix, these parameters are defined as:

${\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}$

where index 3 indicates the axis of symmetry ($\mathbf {e} _{3}$) . These parameters, in conjunction with the associated P wave and S wave velocities, can be used to characterize wave propagation through weakly anisotropic, layered media. It is found empirically that, for most layered rock formations the Thomsen parameters are usually much less than 1.

The name refers to Leon Thomsen, professor of geophysics at the University of Houston, who proposed these parameters in his 1986 paper "Weak Elastic Anisotropy".

Simplified expressions for wave velocities

In geophysics the anisotropy in elastic properties is usually weak, in which case $\delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1$. When the exact expressions for the wave velocities above are linearized in these small quantities, they simplify to

${\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}$

where

$V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}$

are the P and S wave velocities in the direction of the axis of symmetry ($\mathbf {e} _{3}$) (in geophysics, this is usually, but not always, the vertical direction). Note that $\delta$ may be further linearized, but this does not lead to further simplification.

The approximate expressions for the wave velocities are simple enough to be physically interpreted, and sufficiently accurate for most geophysical applications. These expressions are also useful in some contexts where the anisotropy is not weak.

See also

• Thomsen anisotropic parameters
• transverse isotropy on Wikipedia

External links

find literature about Transverse isotropy/ar