Series de Fourier

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Representación de una función periódica mediante la suma de componentes sinusoidales cuyas frecuencias son múltiplos enteros de una frecuencia fundamental. Véase Transformada de Fourier .


Orígenes

El nombre Fourier se refiere al matemático y físico francés Jean Baptiste Fourier (21 de marzo de 1768 - 16 de mayo de 1830). Fourier consideró la posibilidad de usar series trigonométricas como una solución a los problemas de transferencia de calor.


¿Qué son las Series Fourier? [1] [2]

Para una función que es totalmente integrable, lo que quiere decir que existe la siguiente integral

Esto sigue por un resultado conocido como Riemann-Lebesgue lemma.

Podemos escribir como la expansión de la serie trigonométrica convergente

Aquí, los coeficientes están dados por las expresiones

Aquí, T es una cantidad positiva que representa una escala de longitud natural en el problema.

Si consideramos que las funciones son miembros de un Espacio vectorial, es decir un conjunto que se cierra bajo adición y la multiplicación por un escalar, la noción de series de Fourier es análoga a una representación de un vector en términos de sus componentes en una base, siendo la serie de Fourier la representación de en términos de sus componentes. El seno y las funciones del coseno desempeñan el papel de los vectores de "unidad" o "base" en esta representación, y la integración desempeña el papel del producto "interno" o "punto".

Por lo tanto, los coeficientes de Fourier son la proyección de en la "dirección" de los respectivos y . Varias propiedades importantes entran en juego. Estos son Periodicidad, Pares e impares, y ortogonalidad. Un número de identidades trigonométricas se usan en el proceso de probar el teorema de la serie de Fourier.


Derivando las expresiones para los coeficientes de Fourier

En general, estamos resolviendo los coeficientes y en la expresión

En el intervalo

Se puede pensar que esta representación en serie consiste en la suma de dos series. Estas son la serie de coseno y la serie sinusoidal, representando las partes pares e impares de


La serie de Fourier del Coseno

Consideramos el caso de puramente parejo y buscamos los coeficientes en la expresión

Hacemos esto multiplicando ambos lados de la expresión por e integrándola en el rango de


Podemos resolver los coeficientes aplicando la propiedad de ortogonalidad de los cosenos. Sabemos que el resultado de la integración a la derecha es distinto de cero si y solo si . Por lo tanto, la expresión se reduce a

Solo hay dos casos para considerar. Estos son los casos cuando y cuando


Caso 1:

El primero es el caso de frecuencia cero. Aquí la expresión para se reduce a

produciendo el resultado de frecuencia cero

que muestra que el componente de frecuencia cero de es el promedio de durante el intervalo


Caso 2:

Para todos los demás casos, es distinto de cero, produciendo

Aplicando fórmula de ángulo doble para rendimientos de coseno

Resultando en la expresión para para


Las series Fourier del Seno

Consideramos el caso de completamente impar y buscamos los coeficientes en la expresión

Hacemos esto multiplicando ambos lados de la expresión por e integrándola en el rango de


Podemos resolver los coeficientes aplicando la propiedad de ortogonalidad de los senos. Sabemos que el resultado de la integración a la derecha es distinto de cero si y solo si . Por lo tanto, la expresión se reduce a

Solo hay dos casos para considerar. Estos son los casos cuando y cuando


Caso 1:

El primero es el caso de frecuencia cero. Aquí la expresión para se reduce a

porque y porque es impar, esto produce el resultado de frecuencia cero


Caso 2:

Para todos los demás casos, </center>

Aplicando fórmula de ángulo doble para rendimientos de seno

Produciendo la expresión para for


Las series de Fourier complejas

Si consideramos reemplazar el coseno y el seno en la expresión

con sus respectivas representaciones exponencial complejo, obtenemos


Reordenando los términos tenemos

Si definimos y entonces podemos escribir la forma compleja de la serie de Fourier

Podemos encontrar los coeficientes multiplicando ambos lados por e integrándolos en

Por la ortogonalidad de los senos y los cosenos, solo el caso de es distinto de cero, produciendo

lo que produce el resultado


Derivación Heurística de la transformada de Fourier

Partiendo de la expresión de los coeficientes complejos de Fourier


definimos y

Si sustituimos esta expresión por en la expresión de la serie compleja de Fourier de

Reordenando los términos y pasando al límite continuo, tenemos

que sugiere la forma de una suma de Riemann, sugiriendo la siguiente identidad

Esto sugiere los siguientes pares de transformadas de Fourier

y

El and siguen porque las convenciones de los signos del exponente pueden variar entre lo autores, pero el signo del exponente que está en la transformación directa siempre es opuesta a la transformación inversa.


Referencias

  1. Tolstov, G. P. 2012. Fourier series. Courier Corporation.
  2. Churchill, Ruel-V, 1969, Fourier series and boundary value problems,McGraw-Hill Book Co., Inc.