Función de Dirac

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Una función delta o impulso (δ(t)). Llamado así por Paul Adrien Maurice Dirac (1902–1984), físico británico.


Propiedades de la "función" Delta de Dirac

Las propiedades originales deseadas de la función delta de Dirac son unidades de medida

y la propiedad de tamizado

El soporte, (es decir, la parte del dominio donde la función no es cero), de la función delta de Dirac es , por lo que los límites de integración pueden reducirse a una vecindad de


Secuencias Delta

La integral de una función que solamente tiene un valor no cero es cero. Esto significa que la delta de Dirac no es un función en el sentido clásico (es decir, una regla que mapea los puntos de la línea numérica real en un conjunto de números reales)[1]

En cambio, podemos pensar en la función de Dirac como el límite de una secuencia de funciones cada vez más fuertes que exhiben la propiedad de tamizado, tienen una medida de unidad y se activan solo en un intervalo de longitud decreciente cuando el índice n aumenta.

Por lo tanto, consideramos la secuencia llamadas secuencias delta o funciones generalizadas de modo que

y que exhibe la propiedad de tamizado en el límite

El límite de la función anterior no es propiamente el límite de una secuencia de funciones, sino que define un límite de una secuencia de integrales. Hay muchos ejemplos posibles de funciones de secuencia delta. No existe una propiedad equivalente en términos de integrabilidad (más allá de la existencia de la integral definida) o diferenciabilidad que distinga estas funciones, y las funciones de secuencia delta no necesitan tener un limite en el punto de soporte de la función delta.

La noción de secuencia delta es la base de la noción de funciones generalizadas. Así, objetos como la delta Dirac no son funciones, pero se pueden ser representados como el límite de una secuencia de funciones suaves.


La teoría de las Distribuciones de Schwartz.

En 1950, el matemático francés Laurent Schwart publicó su Teoría de las Distribuciones, la cual describe una clase general de objetos bajo la clase de equivalencia de formar un producto interno con miembros de una clase de funciones uniformes llamadas funciones de prueba.[2] [3] Las funciones prueba son infinitamente diferenciables y se anulan uniformemente como , lo que significa que las funciones y todas sus derivadas se anulan en el infinito, pero no son cero en un dominio finito. Las distribuciones se definen como un conjunto de objetos matemáticos, por lo que cuando se multiplican con una función de prueba, se pueden integrar en límites infinitos para producir un resultado finito. Todas las funciones regulares, la función delta de Dirac y todas sus derivadas se definen como miembros de la clase de distribuciones de Schwartz.


Derivadas de la función delta

Formalmente podemos definir "delta prime" como la derivada de la función delta. Podríamos considerar definir formalmente la derivada de la función delta como un límite de la diferencia de las funciones de la secuencia delta, sin embargo, porque no todas las funciones de la secuencia delta necesitan ser diferenciables en el lugar donde actuaría la función delta, y porque estaríamos mezclando procesos limitantes cuestionables, este enfoque, es, en el mejor de los casos, heurístico.

Un mejor enfoque es usar la noción de Schwartz de funciones de prueba. Consideramos formalmente la acción de una hipotética derivada de la función delta como la acción de la integración con una función de prueba

donde significa que es continuo, infinitamente diferenciable, y se anula en el infinito.

Aplicando integración por partes, obtenemos

observando que se anula en el .

Este resultado se puede extender a la derivada


Referencias

  1. Lighthill, M. J. (1962). Fourier analysis and generalised functions. Cambridge University Press, p.46.
  2. Schwartz, Laurent. "Theory des distributions." Hermann, Paris (1950).
  3. Friedlander, F. G., & Joshi, M. S. (1998). Introduction to the Theory of Distributions. Cambridge University Press.