Teorema de convolución

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La transformada de Fourier de la convolución de dos funciones es igual al producto de sus transformadas individuales (o multiplicando sus espectros de amplitud y sumando sus espectros de fase). Ver figuras F-20 y F-22.


Definición integral

El proceso de convolución de dos funciones y está definido en una dimensión como


Equivalente en el dominio de Fourier

Podemos reemplazar y por sus representaciones en el dominio de Fourier

y

donde y son las transformada de Fourier de y , respectivamente. Aquí hemos usado el símbolo para representar la frecuencia en la segunda integral como una variable ficticia en la integrada, para evitar la ambigüedad al combinar las representaciones integrales en el siguiente paso.

Sustituyendo estas representaciones dentro de la representación de la integral original de la convolución nos lleva a

Podemos reorganizar el orden de los integrandos

Reconociendo el factor en como la representación en el dominio de la frecuencia de la función delta de Dirac,


nos permite escribir la expresión equivalente

La integral puede ser realizada, aprovechando la propiedad de tamizado de la función delta para convertir la a que produce la equivalencia de multiplicación en el dominio de la frecuencia a la convolución en el dominio del tiempo



Convolución en el dominio de la frecuencia

De forma similar, la multiplicación en el dominio del tiempo puede interpretarse como convolución en el dominio de la frecuencia, dentro de un factor constante. Esta representación de convolución en el dominio de frecuencia es útil, por ejemplo, si estuviéramos interesados ​​en encontrar la transformada de Fourier del producto de funciones con transformada de Fourier conocida.

Paralelamente a la derivación anterior, escribimos la convolución en el dominio de la frecuencia

Como arriba, sustituimos las representaciones de Fourier de y

y

Como en la derivación anterior, sustituimos las representaciones de Fourier de y , reacomodando los términos lleva a


Reconocemos el término en como la forma de Fourier de la función delta de Dirac

Como antes, aplicamos la propiedad de tamizado de la función delta, en este caso para realizar la integración para llegar a

Hay un factor adicional de Entonces, si estuviésemos representando la transformada de Fourier del producto como la convolución en el dominio de la frecuencia de sus respectivas transformadas de Fourier, necesitaríamos introducir un factor de en la convolución

(El factor adicional de hace eco de lo que se ve en otros resultados relacionados con la transformada de Fourier, como la relación de Parseval.

Para cerrar el círculo, si tuviéramos que realizar la transformada de Fourier inversa de , considerada como una función puramente causal, tendríamos que tratar esto como una integral de contorno, y elegir el contorno a lo largo del eje real para pasar por encima de cualquier polo que estaría en el eje real, para obtener la función causal dada la definición de la transformada de Fourier que estamos usando aquí.