Número complejo

{{#category_index:C|número complejo}}

Aca seguimos los textos estándares, tal como Spiegel (1964) o Levinson y Redheffer (1970).

Un número con parte real e imaginaria, tal como

$z=x+iy=re^{i\theta }$,

donde $i={\sqrt {-1}}$. [El símbolo j también se usa para indicar ${\sqrt {-1}}$ y es una notación preferida por los ingenieros eléctricos, como el símbolo $i$ se reserva con frecuencia para representar la corriente eléctrica]. El módulo o magnitud del número complejo anterior es $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ y el ángulo que indica su dirección respecto al eje real positivo

$\theta =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}$.

La gráfica de una función o cantidad compleja (tal como el espectro de frecuencia) se muestra en la Figura C-10.

FIG. C-10. Una función compleja (tal como un espectro de frecuencia) requiere una representación 3D. La distancia desde el eje de frecuencia da el módulo, y el ángulo con el plano real es la fase.

Entendiendo números complejos y funciones de variables complejas.

En el cálculo de las raíces de ecuaciones polinómicas, las cantidades aditivas que son escaladas por ${\sqrt {-1}}$ aparecen a menudo. Por ejemplo, si consideramos una ecuación cuadrática general

$az^{2}+bz+c=0$

donde $a,b,c$ son números reales. Las raíces de esta ecuación se pueden obtener a través de la fórmula cuadrática

$z={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Acá vemos que cuando la cantidad $b^{2}-4ac<0$ el resultado será

$z={\frac {-b\pm i{\sqrt {|4ac-b^{2}|}}}{2a}}={\frac {-b}{2a}}\pm i{\frac {\sqrt {|4ac-b^{2}|}}{2a}}$

donde usamos la convención matemática $i={\sqrt {-1}}.$

"El plano complejo z."

La representación polar y el plano de Argand

En general consideramos que un número complejo $z=x+iy$ donde $x$ es la "parte real y $y$ es "la parte imaginaria" (llamada así, en un tiempo en que los matemáticos se sentían incómodos con cantidades que envolvían ${\sqrt {-1}}.$)

Al matemático aficionado llamado Jean-Robert Argand se le atribuye de ser la primera persona en publicar la representación geométrica de los números complejos definida como un plano con eje horizontal $x$ como el "eje real" y $y$ como "eje imaginario".

Si consideramos el ángulo $\theta$ como el ángulo en sentido opuesto a las manecillas del reloj desde el eje positivo real, entonces la representación polar natural resulta

$z=x+iy=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta )).$

Acá </math> where $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=|z|.$ and $r=|z|$ se conoce como elmódulo de $z.$

El módulo se puede escribir como $r={\sqrt {(x+iy)(x-iy)}}={\sqrt {z{\overline {z}}}}=|z|^{2}$ donde ${\overline {z}}=x-iy$ se conoce como "complejo conjugado" de $z.$

Otra representación polar está en las siguientes identidades

$z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))=re^{i\theta },$

y

${\overline {z}}=r(\cos(\theta )-i\sin(\theta ))=re^{-i\theta },$

implicando que

$\cos(\theta )\pm i\sin(\theta )=e^{\pm i\theta }.$

Comencemos por escribir formalmente las representaciones de la series de Taylor de $\cos(\theta )$ y $i\sin(\theta )$ y sumando la serie resultante

$\cos(\theta )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\theta ^{2k}}{(2k)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(i)^{2k}\theta ^{2k}}{(2k)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(i\theta )^{2k}}{(2k)!}},$

donde $k=0,1,2,3,...$. Podemos escribir la serie de Taylor de la forma $i\sin(\theta )$

$i\sin(\theta )=i\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\theta ^{2l+1}}{(2l+1)!}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(i)^{2l+1}\theta ^{2l+1}}{(2l+1)!}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(i\theta )^{2l+1}}{(2l+1)!}},$

donde $l=0,1,2,3,...$. En los dos casos previos, se ha hecho uso libre de la identidad $-1=i^{2}.$

La suma de estas dos series conlleva a la representación en serie de la función exponencial

$\cos(\theta )+i\sin(\theta )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\theta )^{n}}{n!}}=e^{i\theta },$

donde $n=0,1,2,3,...$.

Probablemente no verá este argumento en un libro de texto ya que es un argumento de plausibilidad en lugar de una prueba, porque depende de tener la maquinaria de convergencia de la serie disponible.

Funciones de variables complejas

Si una función $f(z)$ es una representación del campo de los números complejos al campo de los números complejos, entonces $f(z)$ debe, por si misma, ser la suma de un función puramente real $u(x,y)$ y una función puramente imaginaria $iv(x,y),$ entonces,

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y).$

Cierta clase de función de valores complejos, conocida como función analítica es de particular importancia en la aplicación de funciones de valores complejos a los problemas de las ciencias físicas.