Número complejo

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Aca seguimos los textos estándares, tal como Spiegel (1964) [1] o Levinson y Redheffer (1970). [2]


Un número con parte real e imaginaria, tal como


,


donde . [El símbolo j también se usa para indicar y es una notación preferida por los ingenieros eléctricos, como el símbolo se reserva con frecuencia para representar la corriente eléctrica]. El módulo o magnitud del número complejo anterior es y el ángulo que indica su dirección respecto al eje real positivo

.


La gráfica de una función o cantidad compleja (tal como el espectro de frecuencia) se muestra en la Figura C-10.



Entendiendo números complejos y funciones de variables complejas.

En el cálculo de las raíces de ecuaciones polinómicas, las cantidades aditivas que son escaladas por aparecen a menudo. Por ejemplo, si consideramos una ecuación cuadrática general

donde son números reales. Las raíces de esta ecuación se pueden obtener a través de la fórmula cuadrática

Acá vemos que cuando la cantidad el resultado será



donde usamos la convención matemática

"El plano complejo z."


La representación polar y el plano de Argand

En general consideramos que un número complejo donde es la "parte real y es "la parte imaginaria" (llamada así, en un tiempo en que los matemáticos se sentían incómodos con cantidades que envolvían )

Al matemático aficionado llamado Jean-Robert Argand se le atribuye de ser la primera persona en publicar la representación geométrica de los números complejos definida como un plano con eje horizontal como el "eje real" y como "eje imaginario".

Si consideramos el ángulo como el ángulo en sentido opuesto a las manecillas del reloj desde el eje positivo real, entonces la representación polar natural resulta



Acá </math> where and se conoce como elmódulo de

El módulo se puede escribir como donde se conoce como "complejo conjugado" de


Otra representación polar está en las siguientes identidades

y

implicando que


Comencemos por escribir formalmente las representaciones de la serie de Taylor de y y sumando la serie resultante



donde . Podemos escribir la serie de Taylor de la forma



donde . En los dos casos previos, se ha hecho uso libre de la identidad

La suma de estas dos series conlleva a la representación en serie de la función exponencial


donde .

Probablemente no verá este argumento en un libro de texto ya que es un "argumento de plausibilidad" en lugar de una prueba, porque depende de tener la maquinaria de convergencia de la serie disponible.


Funciones de variables complejas

Si una función es una representación del campo de los números complejos al campo de los números complejos, entonces debe, por si misma, ser la suma de un función puramente real y una función puramente imaginaria entonces,



Cierta clase de función de valores complejos, conocida como Función Analítica es de particular importancia en la aplicación de funciones de valores complejos a los problemas de las ciencias físicas.


Referencias

<referencias />

  1. Spiegel, Murray R. "Theory and problems of complex variables, with an introduction to Conformal Mapping and its applications." Schaum's outline series (1964).
  2. Levinson, Norman, y Raymond M. Redheffer. "Complex variables." (1970), Holden-Day, New York.