La representación logarítmica de la transformada inversa de Fourier en el dominio de la frecuencia.
indica la operación de la transformada inversa de Fourier. Si
, el
cepstrum es
Por lo tanto,
y
son, respectivamente el módulo y la fase sin envolvente de
. Usamos
,
aunque los ingenieros eléctricos puedan usar
para esta cantidad.
La fase debe ser sin envolvente ya que la función compleja validada
debe ser analítica para que análisis posteriores sean válidos.
Transformada Cepstral directa
Esta transformada generalmente se lleva a cabo en tres pasos:
1.) La Transformada de Fourier directa de
donde hemos elegido el signo positivo para el exponente en la transformada temporal directa exponencial.
Aquí los límites de la integral reflejan el hecho de que la mayoría de veces señales variables en exploración geofísica son funciones "causales", que tienen valores diferente de cero solamente para
2.) El logaritmo natural se toma de
y la fase
es la fase luego que está sin envolvente,
Estos constituyen las partes reales e imaginarias de la función logarítmica en el dominio de la frecuencia.
3.) La transformada de Fourier inversa (compleja a real) se aplica a la representación logarítmica en el dominio de la frecuencia de 
La cantidad
es llamada el cepstrum de
y la cantidad
es llamada la quefrency. Nótese que el cepstrum es el cepstrum complejo y es por lo tanto la suma de la parte real e imaginaria, y se puede escribir en términos del módulo y la fase
Acá, la fase
es llamada safe (saphe).
Nótese que la convención de los signos del exponente se pueden invertir, con un signo menos en la transformada directa de Fourier y signo positivo para la fase en la transformada inversa de Fourier.
Transformada inversa Cepstral
La transformada inversa cepstral es la operación inversa
1.) La transformada directa
Aquí
2.)
es exponenciado para recuperar
3.) y finalmente, la transformada inversa
se realiza
El dominio cepstral a menudo se indica por un sombrero. La transformada también se puede expresar como transformada z; ver Sheriff y Geldart (1995, 298–299; 554–555). [1]
Las aplicaciones de la representación cepstral incluyen los ecos digitales filtrados del habla humana y el procesamiento de las señales homomórficas. [2]
Referencias
- ↑ Sheriff, Robert E., and Lloyd P. Geldart. Exploration seismology. Cambridge university press, 1995.
- ↑ Oppenheim, Alan V., and Ronald W. Schafer. "Digital signal processing. 1975." Englewood Cliffs, New York.