Cepstrum

La representación logarítmica de la transformada inversa de Fourier en el dominio de la frecuencia. $\leftrightarrow$ indica la operación de la transformada inversa de Fourier. Si $g(t)\leftrightarrow G(\omega )=|G(\omega )|e^{i\phi (\omega )}$, el $g(\zeta )$ cepstrum es

$g(\zeta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\ln \left(|G(\omega )|\right)+i\phi (\omega )\right]e^{-i\omega \zeta }\;d\omega .$

Por lo tanto, $|G(\omega )|$ y $\phi (\omega )$ son, respectivamente el módulo y la fase sin envolvente de $G(\omega )$. Usamos $i={\sqrt {-1}}$, aunque los ingenieros eléctricos puedan usar $j$ para esta cantidad.

La fase debe ser sin envolvente ya que la función compleja validada $G(\omega )$ debe ser analítica para que análisis posteriores sean válidos.

Transformada Cepstral Directa

Esta transformada generalmente se lleva a cabo en tres pasos:

1.) La Transformada de Fourier directa de $g(t)\leftrightarrow G(\omega )$

$G(\omega )=\int _{0}^{\infty }g(t)e^{i\omega t}\;dt$

donde hemos elegido el signo positivo para el exponente en la transformada temporal directa exponencial. Aca los límites de la integral reflejan el hecho de que la mayoría de veces señales variables en exploración geofísica son funciones "causales", que tienen valores diferente de cero solamente para $t>0.$

2.) El logaritmo natural se toma de $G(\omega )$ y la fase $\phi (\omega )$ es la fase luego que está sin envolvente,

$\ln[G(\omega )]=\ln |G(\omega )|+i\phi (\omega ).$

Estos constituyen las partes reales e imaginarias de la función logarítmica en el dominio de la frecuencia.

3.) La transformada de Fourier inversa (compleja a real) se aplica a la representación logarítmica en el dominio de la frecuencia de $g(t)$$<center><math>g(\zeta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\ln[G(\omega )]=\ln |G(\omega )|+i\phi (\omega )\right]e^{-i\omega \zeta }\;d\omega .$

La cantidad $g(\zeta )$ es llamada el cepstrum de $g(t)$ y la cantidad $\zeta$ es llamada la quefrency. Nótese que el cepstrum es el cepstrum complejo y es por lo tanto la suma de la parte real e imaginaria, y se puede escribir en términos del módulo y la fase $g(\zeta )={\mbox{Re}}\;g+i{\mbox{Im}}\;g=|g(\zeta )|e^{i\psi (\zeta )}.$ Acá, la fase $\psi (\zeta )$ es llamada safe (saphe).

Nótese que la convención de los signos del exponente se pueden invertir, con un signo menos en la transformada directa de Fourier y signo positivo para la fase en la Transformada Inversa de Fourier.

Transformada Inversa Cepstral

La transformada inversa cepstral es la operación inversa

1.) La transformada directa $g(\zeta )\leftrightarrow \Gamma (\omega ))$

$\Gamma (\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }g(\zeta )e^{i\omega \zeta }\;d\zeta .$

Acá ${\mbox{Re}}\Gamma (\omega )+i{\mbox{Im}}\Gamma (\omega )=\ln |G(\omega )|+i\phi (\omega )$

2.) $\Gamma (\omega )$ es exponenciado para recuperar $G(\omega )$

$\exp(\Gamma (\omega ))=|G(\omega )|e^{i\phi (\omega )}=G(\omega )$

3.) y finalmente, la transformada inversa $G(\omega )\leftrightarrow g(t)$ se realiza

$g(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G(\omega )e^{-i\omega t}\;d\omega$

El dominio cepstral a menudo se indica por un sombrero. La transformada también se puede expresar como transformada z; ver Sheriff and Geldart (1995, 298–299; 554–555).

Las aplicaciones de la representación cepstral incluyen los ecos digitales filtrados del habla humana y el procesamiento de las señales homomórficas.