Causalidad

La propiedad de una secuencia tal que hay energía cero antes de un tiempo de inicio finito. Las ondas de fase mínima son causales pero las ondas de fase cero no lo son.

Causalidad y la Transformada de Fourier

El problema de la causalidad afecta a los datos tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Este hecho es evidente cuando se considera la transformada de Fourier de funciones causales.

Una convención de transformación de Fourier común para las transformaciones temporales directas e inversas es, respectivamente,

$F(\omega )=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{i\omega t}\;dt$

$f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{-i\omega t}\;dt.$

Aquí los límites de $[0,\infty ]$ implican que $f(t)$ es causal y, por lo tanto $f(t)=0$ por $t<0$.

De esta forma, la transformada de Fourier inversa debe producir un resultado que concuerde con la causalidad.

La transformada de Fourier inversa como una integral de contorno

Si interpretamos la transformada de Fourier inversa como una integrada de contorno

$f(t)=\int _{\Gamma }F(\omega )e^{-i\omega t}\;dt,$

y consideramos solo los problemas donde $F(\ omega)$ tiene polos o puntos de ramificación que existen en o cerca del eje real, entonces solo hay una opción particular de contorno de integración $\Gamma$ que produce un resultado causal para $f(t).$

Este es el caso de la parte de $\Gamma$ paralela al eje real que pasa sobre los polos.

Para realizar una integral de contorno, se requiere que el contorno de integración se cierre, y que Teorema de Cauchy y, para las integrales de Fourier, un resultado conocido como el Lema de Jordan se aplicará para mostrar que la contribución del contorno en el infinito desaparece. El cierre en el semiplano superior de $\omega$ arrojará el resultado de $f(t)=0$ (porque no se incluye el polo dentro del contorno) y corresponde al caso $t<0$. El cierre del contorno en el semiplano inferior de $\omega$ (donde uno o más polos se incluyen dentro del contorno) dará un valor distinto de cero de $f(t)$ y corresponderá a los valores de $f(t)$ para $t>0.$

Para ver por qué esto es así, considere $\omega$ como una variable compleja $\omega =a+ib$ y reescriba la exponencial en la definición de la transformada inversa de Fourier como

$e^{-i\omega t}=e^{-i(a+ib)t}=e^{-iat}e^{bt}.$

La integral solo puede converger cuando el integrando está decayendo, por lo que $b>0$ (que corresponde al cierre en el semiplano superior de $\omega$) implica que $t<0$ y $b<0$ (que corresponde al cierre en el semiplano inferior de $\omega$) implica que $t>0.$

"Figura 1: Para las convenciones de signo de exponente de la transformada de Fourier aquí, este es el contorno de integración que produce un resultado causal."

Para esta convención del signo exponente, seria un contorno que pasa sobre las singularidades del integrando. Ya que no hay singularidades en la mitad superior del plano de $\ omega$ la causalidad se identifica exactamente con la analiticidad en algún semiplano de $\omega$ que, en el caso de estas convenciones del signo de exponente de la transformada de Fourier, es el semiplano superior.

Causalidad y la transformada de Hilbert

Consideramos formalmente que una función causal es $f(t)H(t)$ donde $H(t)$ es la función de paso de Heaviside

$H(t)=\left\{{\begin{array}{ll}0&t<0\\1&t>0.\end{array}}\right.$

Queremos encontrar la transformada de Fourier de $f(t)H(t),$ que pueda ser representada como una convolución en el dominio de la frecuencia

$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)H(t)e^{i\omega t}\;dt={\frac {1}{2\pi }}(F\star {\hat {H}})(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {H}}(\omega -\Omega )F(\Omega )\;d\Omega .$

El paso de Heaviside no es par ni impar, pero puede escribirse en términos de la función constante $1/2$ y la $\operatorname {sgn}(t)$

$H(t)={\frac {1}{2}}\operatorname {sgn}(t)+{\frac {1}{2}}.$

donde

$\operatorname {sgn}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}-1&t<0\\0&t=0\\1&t>0.\end{array}}\right.$

Necesitamos calcular la transformada de Fourier de $H(t).$

${\hat {H}}(\Omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {sgn}(t)+{\frac {1}{2}}\right]e^{i\Omega t}\;dt=-{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{0}e^{i\Omega t}\;dt+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{i\Omega t}\;dt+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\Omega t}\;dt.$

Las primeras dos integrales se pueden realizar por medios elementales (con el signo apropiado elegido para la parte imaginaria de $\Omega$ para asegurar el decaimiento exponencial del integrando), y puede combinarse en base a la propiedad de continuación analítica, y el tercero sigue de la definición de la función Dirac

${\hat {H}}(\Omega )=\left[{\frac {-1}{i\Omega }}+\pi \delta (\Omega )\right].$

Formando la convolución en el dominio de la frecuencia

$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)H(t)e^{i\omega t}\;dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {-1}{i(\omega -\Omega )}}+\pi \delta (\omega -\Omega )\right]F(\Omega )\;d\Omega .$

La primera integral tiene sentido solo como una integral de valor principal de Cauchy, y la segunda se puede realizar aplicando la función de Dirac de la función delta

$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)H(t)e^{i\omega t}\;dt={\frac {1}{2\pi i}}{\mbox{PV}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {F(\Omega )}{(\Omega -\omega )}}\;d\Omega +{\frac {1}{2}}F(\omega ).$

Porque $F(\omega )$ es una función de valores complejos, y podemos escribir esta función en términos de sus partes reales e imaginarias $F=F_{R}+iF_{I}$

${\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{\pi }}{\mbox{PV}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {F_{I}(\Omega )}{(\Omega -\omega )}}\;d\Omega -{\frac {i}{\pi }}{\mbox{PV}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {F_{R}(\Omega )}{(\Omega -\omega )}}\;d\Omega \right]+{\frac {1}{2}}\left[F_{R}(\omega )+iF_{I}(\omega )\right].$

Sin embargo, porque $F(\omega )$ es analítica en el semiplano superior de $\ omega,$ las relaciones de la transformada de Hilbert existen entre las partes reales e imaginarias de $F(\omega )$

$F_{R}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mbox{PV}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {F_{I}(\Omega )}{(\Omega -\omega )}}\;d\Omega$

y

$F_{I}(\omega )={\frac {-1}{\pi }}{\mbox{PV}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {F_{R}(\Omega )}{(\Omega -\omega )}}\;d\Omega$

excepto posiblemente en una colección finita de valores de $/omega.$

Donde $F(\omega )$ es analítica.

Las relaciones Kramers-Kronig

Por lo tanto, la transformada de Fourier de una función causal puede escribirse en términos de pares de transformadas de Hilbert

$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{i\omega t}\;dt=F(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mbox{PV}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {F_{I}(\Omega )}{(\Omega -\omega )}}\;d\Omega +i{\frac {-1}{\pi }}{\mbox{PV}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {F_{R}(\Omega )}{(\Omega -\omega )}}\;d\Omega .$

Este resultado a menudo es conocido como la relación Kramers-Kronig.