Cálculo de variaciones

El proceso matemático de encontrar una función que maximizará (o minimizará) una integral definida.

Antecedentes matemáticos

Una 'función' es un mapeo desde un espacio de números a otro espacio de números. Un objeto matemático conocido como 'funcional' es un mapeo de un espacio de funciones a un número. Una integral definida es uno de esos ejemplos de un funcional.

Antecedentes físicos

En la física matemática hay problemas que requieren que una trayectoria o superficie represente la minimalización de las cantidades físicas conservadas.

Cuatro problemas clásicos del calculo variacional son los problemas de catenaria, braquióscrona, geodésico y la superficie mínima.

Formulación Lagrangiana de la acción clásica

En general, todos estos problemas se reducen a la minimización de la acción clásica $S$ se define por la integral

$S=\int _{A}^{B}L(x,{\dot {x}},t)\;dt.$

de tal manera que se produzca la función óptima $x(t)$. Aquí $\ dot{x}\ equivdx/dt$. La función $L(x,\ dot{x},t)$ es una función de valor escalar, pero $x$ y $\ dot{x}$ puede estar en $R^{n}$ donde $n$ es mayor que 1

Aplicación del teorema de Taylor

Con respecto a la aplicación de serie de Taylor|teorema de Taylor, podemos escribir $L(x+\ deltax,\ dot{x}+\ delta\ dot{x},t)$ como

$L(x+\delta x,{\dot {x}}+\delta {\dot {x}},t)=L(x,{\dot {x}},t)+\left[{\frac {\partial L}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\delta {\dot {x}}\right]+{\frac {1}{2!}}\left\{{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{2}}}\left(\delta x\right)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x\partial {\dot {x}}}}\delta x\delta {\dot {x}}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {x}}^{2}}}\left(\delta {\dot {x}}\right)^{2}\right\}+O(\epsilon ^{3}).$

Aquí $\delta x=x(t)-h(t)$ such that $|x-h|<\epsilon <<1$. Los términos entre corchetes $[...]$ se denomina comúnmente primera variación y la parte entre llaves $\{...\}$ es comúnmente llamada la segunda variación.

El proceso de resolver un problema dado es minimizar la primera variación de la acción clásica que se da formalmente como

$\delta S=\int _{A}^{B}\left[L(x+\delta x,{\dot {x}}+\delta {\dot {x}},t)-L(x,{\dot {x}},t)\right]\;dt\sim \int _{A}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\delta {\dot {x}}\right]\;dt.$

El problema entonces es encontrar la curva $x(t)$ que cumpla la condición de que $\ deltaS=0$ y que todas las curvas de solución potenciales tienen los mismos valores en los puntos finales de la integral $A$ y $B$. Esto significa que las variaciones de la solución $\ deltax(A)=0$ y $\ deltax(B)=0.$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange

La representación integral de la primera variación de la acción

$\delta S=\int _{A}^{B}\left[{\frac {\partial L}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\delta {\dot {x}}\right]\;dt$

se puede simplificar realizando la integración por partes en el segundo término en el integrando, en el que el factor $\delta {\dot {x}}$ se integra para producir

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\delta x(t){\bigg |}_{A}^{B}-\int _{A}^{B}{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right]\delta x(t)\;dt$

.

La evaluación del punto final se desvanece porque los puntos finales de todas las curvas de solución se consideran iguales para todas las soluciones posibles, por lo tanto, $\delta x(A)=\delta x(B)=0.$ Sustituyendo el resultado de nuevo en la integral para $\delta S$ tenemos

$\delta S=\int _{A}^{B}\left\{{\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right]\right\}\delta x\;dt=0,$

lo que implica que el integrando desaparece

${\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right]=0.$

Sin pérdida de generalidad, podemos considerar que $x$ and ${\dot {x}}$ están en $n$ dimensiones, permitiéndonos escribir

${\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right]=0,$

donde $i=1,2,...,n$.

Resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange es equivalente a encontrar el gradiente del Lagrangiano en todas sus variables y llevarlo a cero. La curva de solución $x(t)$ es la proyección de la trayectoria mínima en el espacio de fase sobre las coordenadas espaciales (el espacio de configuración), según el problema.

Propiedades del Lagrangiano

La formulación lagrangiana es lineal. El lagrangiano de un sistema es la suma de los lagrangianos de los subsistemas que forman ese sistema.

Caso I

Caso I: $L=L(x,{\dot {x}})$

En este caso, el lagrangiano no es explícitamente una función de la variable de integración.

${\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right]={\frac {\partial ^{2}L}{\partial t\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x\partial {\dot {x}}}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {x}}^{2}}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial x\partial {\dot {x}}}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {x}}^{2}}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

Alternativamente

Podemos escribir el derivado a tiempo completo de $L$

${\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

y

${\frac {d}{dt}}\left[{\dot {x}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right]={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right]{\frac {dx}{dt}}$

Combinando las dos identidades que tenemos

${\frac {d}{dt}}\left[L-{\dot {x}}{\frac {dL}{\partial x}}\right]={\frac {\partial L}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right]{\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right]\right){\frac {dx}{dt}}=0$

.

El término entre paréntesis $(...),$ es Euler-Lagrange.

Por lo tanto

${\frac {d}{dt}}\left[L-{\dot {x}}{\frac {dL}{\partial {\dot {x}}}}\right]=0$

es equivalente a las ecuaciones de Euler-Lagrange cuando $L$ no depende de la variable de integración.

Podemos escribir inmediatamente

$L-{\dot {x}}{\frac {dL}{\partial {\dot {x}}}}=c$

donde $c$ es una constante.

Caso II

Caso II - $L=L({\dot {x}})$

El Lagrangiano no depende de $x$ o de la variable de integración $t$.

Sin dependencia explícita del lagrangiano en

${\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{j}}}\right]=0$

implicando que

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{j}}}={\mbox{un vector constante}}.$

Además, porque $L$ no depende del espacio

${\frac {\partial L}{\partial x_{j}}}=0$

lo que implica que el Lagrangiano $L={\mbox{const.}}$.

Ramificaciones de la física

Si consideramos los problemas de la mecánica que representan las diferentes formas de Lagrangiano, vemos importantes ramificaciones con respecto a la naturaleza de las simetrías que conducen a las ecuaciones de la mecánica clásica.

Espacio libre, sin potencial, $L=L({\dot {x}})$

Como arriba esto implica que

$\ frac{\ partialL}{\ partialx}=0$ lo que significa que $L$ es constante con respecto a la coordinación espacial $x$.

También tenemos de las ecuaciones de Euler-Lagrange que

${\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{j}}}\right]=0$

implicando que

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{j}}}=w_{j}$

,

donde $w_{j}$ es un vector constante.

El último resultado se debe a que la derivada parcial con respecto a ${\dot {x}}$ es el gradiente con respecto a la velocidad ${\dot {x}}_{j}=v_{j}$.

Por lo tanto, el Lagrangiano no puede ser una función de la dirección del vector de velocidad, lo que significa que el Lagrangiano solo puede ser una función de la magnitud de la velocidad, pero no su dirección. Esta es una declaración de la "isotropía del espacio".

El resultado implica que

$L=v_{j}w_{j}+c_{1}$

,

donde $c_{1}$ es una constante de integración.

Por la isotropía del espacio

$v_{j}w_{j}=|v||w|\cos \theta$

Pero como no puede haber dependencia angular, podemos tomar $w_{j}=Kv_{j}$ y, por lo tanto, la expresión para el lagrangiano se convierte en

$L=Kv_{j}v_{j}+c_{1}$

.

El modelo más simple es el de una partícula que viaja a una velocidad constante, en una dirección constante, que es la definición de un marco inercial.

Si definimos $K=m/2$, donde $m$ es masa, entonces el Lagrangiano toma la forma de energía cinética, dentro de una constante

$L=1/2mv_{j}v_{j}+c_{1}$

.

Conservación del momento lineal

Sustituyendo esta forma del Lagrangiano en

${\frac {\partial L}{\partial v_{j}}}=mv_{j}\equiv p_{j}$

donde $p_{j}$ es el impulso, que debe ser el mismo que el vector constante $w_{j}$ definido en la discusión anterior. Esta Es una declaración de "conservación del impulso lineal.

Espacio libre con un campo potencial $U(x)$

Por la linealidad del Lagrangiano, solo necesitamos agregar el potencial $-U(x)$ a la expresión previa del Lagrangiano para obtener

$L={\frac {1}{2}}mv_{j}v_{j}-U(x_{j})$

.

Resolviendo las ecuaciones de Euler-Lagrange (aquí con $\ dot{x}$ escrito como $v_{j}$ tenemos

${\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial v_{j}}}\right]={\frac {\partial L}{\partial x_{j}}}$

.

Invocando la equivalencia del gradiente de velocidad de L y el momento, tenemos

${\frac {d}{dt}}\left[mv_{j}\right]=-{\frac {\partial U}{\partial x_{j}}}=-\nabla _{j}U(x_{j}).$

.

Aplicando la derivada del tiempo a la velocidad $v_{j}$ obtenemos la aceleración $a_{j}$, tenemos la ecuación de movimiento de Newton

$ma_{j}=-\nabla _{j}U\equiv F_{j}$

.

Así, las leyes de la mecánica de Newton se derivan de la consideración de la homogeneidad y la isotropía del espacio y el tiempo.

Vínculos Externos

find literature about Calculus of variations/es