Funciones de Bessel

{{#category_index:B|Bessel functions}} Funciones matemáticas especiales que a menudo ocurren en problemas que involucran la simetría cilíndrica, especialmente en ecuaciones que relacionan el Laplaciano de una función con las derivadas de la función. Ver Officer (1974, 52–55). Llamadas así por Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846), astrónomo y matemático alemán.

Ecuación diferencial ordinaria de Bessel

Las funciones de Bessel son soluciones particulares de la ecuación diferencial ordinaria de Bessel

$z^{2}y''+zy'+(z^{2}-\alpha ^{2})y=0.$

Donde $\alpha$ no necesita ser un número entero y $y=y(z)$

Otra forma de esta ecuación se puede obtener dividiendo por el coeficiente $z^{2}$

$y''+{\frac {1}{z}}y'+\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}\right)y=0.$

Un método de solución de esta ecuación es aplicar el Método de Frobenius, donde una solución de prueba en la forma de una serie infinita

$y=z^{\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n+\alpha }$

es sustituida en la ecuación diferencial de Bessel y los coeficientes $a_{n}$ se encuentran en términos equiparables de potencias similares en $z^{m}.$

El resultado de este procedimiento produce, en general, la solución de la serie

$J_{\alpha }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(z/2)^{2n+\alpha }}{n!\;\Gamma (n+\alpha +1)}}.$

Donde math> \Gamma(n+\alpha +1) </math> es la Función Gama utilizada como una continuación analítica de la función factorial.

Para $\alpha =m$ donde $m$ es un número entero, se reduce a

$J_{m}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(z/2)^{2n+m}}{n!\;[n+m]!}}$

y es también válido para valores negativos de $m$

$J_{-m}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(z/2)^{2n+m}}{n!\;[n+m]!}}.$

Donde $m\geq 0$.

Vínculos externos

find literature about Bessel functions/es