Función analítica

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De todas las funciones de una variable compleja, una de las variedades más útiles son las funciones analíticas.

Una función de valores complejos es una función:



donde tal que se llama la parte real y se llama la parte imaginaria de .


Definición de función analítica

El término función analítica (también conocida como regular u holomórfica), es una función tal que la derivada con respecto a existe.

Estas dos ecuaciones se conoces como las Ecuaciones de Cauchy-Riemann:



Cualquier función compleja de la variable compleja que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann se llama analítica.

Las funciones analíticas no son raras. La mayoría, si no todas las funciones encontradas en las matemáticas aplicadas probablemente satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, excepto posiblemente en puntos aislados. Estos puntos aislados son polos, puntos de ramificación y singularidades esenciales.


Polos

Si es analítica en todas partes en el plano complejo, se llama entera. Ejemplos de funciones enteras incluyen polinomios en , para nombrar unas pocas. Normalmente hablamos de analiticidad en alguna región del plano complejo.

Podemos considerar una clase de funciones conocidas como funciones meromórficas, que son funciones que tienen polos. Un polo es una singularidad algebraica en el denominador, tal como la daría



En alguna región del plano complejo, donde es analítica y es un entero.


Puntos de ramificación

Un "punto de ramificación" es una falla de la analiticidad debido a la multivalencia de una función. Por ejemplo, si:



con analítica, pero con (positiva o negativa) y no es un entero. Por lo tanto, la multivalencia proviene de las raíces de la función.

Otras funciones que contienen puntos de ramificación incluyen logaritmo , cuya multivalencia puede verse al notar que lo que implica que:



Nótese que, si bien los puntos de ramificación están bien definidos, la noción de un "corte de rama" que se ve a menudo en la literatura matemática es un artefacto de la elección de una dirección de referencia, que no necesita ser una línea recta, pero podría ser cualquier curva (como un camino de integración). Si intentamos rotar los puntos en esa curva alrededor de un punto de ramificación, entonces nos damos cuenta de la multivalencia de la función. Se debe tener cuidado para no introducir cortes de ramas innecesariamente, ya que pueden complicar el análisis.


Singularidad esenciales

Para el caso de , la serie de Laurent de la función tiene un número infinito de términos de potencia negativa, que son singulares en un punto. Ese punto se llama singularidad esencial.


Otras propiedades de funciones analíticas

Las funciones analíticas tienen propiedades que las hacen deseables:

Si una función es analítica, también lo es su derivada.
Las funciones analíticas son infinitamente diferenciables.
Las partes real e imaginaria de una función analítica satisfacen la ecuación de Laplace, haciéndolas ideales para representaciones electromagnéticas.
La integral sobre un contorno cerrado de una función que es analítica dentro y sobre el contorno es cero.
Una función que es analítica tiene una serie de potencias convergentes en esa región, que es la misma que la expansión de Taylor, que existe, converge y es única en la región de analiticidad.