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Message definition (Dictionary:Fourier analysis)
[[File:Segf18.jpg|center|thumb|600px|FIG. F-18. (<b>a</b>) <b>Fourier analysis</b> involves finding the amplitude of frequency components for a waveform. The frequency-domain representation or spectrum ''G''(''f'') of a discrete time function ''g''<sub>''t''</sub> (waveform, seismic record trace, etc.) can be decomposed into a series of sinusoids by any of the following equivalent equations: <center>\begin{align} g_{t} & =a_{0}/2+\sum [a_{n}\cos (2\pi f_{n}t)+b_{n}\cos (2\pi ft)] \\ & =c_{0}/2+\sum c_{n}\cos (2\pi f_{n}t-\gamma_{n})=\sum \alpha_{n} exp[j2\pi f_{n}t] \end{align}</center>
Where <center>\begin{align} a_{n} &=(2/T)\sum g_{i}\cos (2\pi f_{i}t),\\ b_{n} &=(2/T)\sum g_{i}\sin (2\pi f_{i}t), \\ c_{n} &=(2/T)\sum g_{i}\cos (2\pi f_{i}t-\gamma _{i}),\\ \gamma _{n}&=0,\; \gamma _{n}=\tan ^{-1}(b_{n}/a_{n}), \\ & n>0,\; \alpha =(2/T)\sum g_{i} exp[j2\pi f_{i}t] \end{align}</center>
If $g(t)$ is a continuous waveform, the sum signs become integrals.
(<b>b</b>) <b>Fourier synthesis</b> involves superimposing the components to reconstitute the waveform. For an antisymmetric sawtooth waveform, the first four components are:
<center>$\sin x; -(1/2)\sin 2x; (1/3)\sin 3x; -(1/4)\sin 4x$</center>.
For a Fourier transform the limits are $0$ and $\pm \infty,$ and $G(f)$ and $g(t)$ constitute a Fourier-transform pair; see Figure [[Special:MyLanguage/Dictionary:Fig_F-19|F-19]].]]
Translation[[File:Segf18.jpg|center|thumb|600px|FIG. F-18. (<b>a</b>) <b>Análisis de Fourier</b> implica encontrar la amplitud de los componentes de frecuencia de una onda. La representación en el dominio de la frecuencia o espectro ''G''(''f'') de una función en tiempo discreta ''g''<sub>''t''</sub> (onda, traza sísmica, etc.) puede ser descompuesta en una serie de sinusoides por cualquiera de las siguientes ecuaciones equivalentes: <center>\begin{align} g_{t} & =a_{0}/2+\sum [a_{n}\cos (2\pi f_{n}t)+b_{n}\cos (2\pi ft)] \\ & =c_{0}/2+\sum c_{n}\cos (2\pi f_{n}t-\gamma_{n})=\sum \alpha_{n} exp[j2\pi f_{n}t] \end{align}</center>
Donde <center>\begin{align} a_{n} &=(2/T)\sum g_{i}\cos (2\pi f_{i}t),\\ b_{n} &=(2/T)\sum g_{i}\sin (2\pi f_{i}t), \\ c_{n} &=(2/T)\sum g_{i}\cos (2\pi f_{i}t-\gamma _{i}),\\ \gamma _{n}&=0,\; \gamma _{n}=\tan ^{-1}(b_{n}/a_{n}), \\ & n>0,\; \alpha =(2/T)\sum g_{i} exp[j2\pi f_{i}t] \end{align}</center>
Si $g(t)$ es una onda continua, los signos sumatoria se convierten en integrales.
(<b>b</b>) <b>Síntesis de Fourier</b> implica la superposición de componentes para reconstruir la forma de la onda. Para una onda diente de sierra antisimétrica, los primeros cuatro componentes son:
<center>$\sin x; -(1/2)\sin 2x; (1/3)\sin 3x; -(1/4)\sin 4x$</center>
Para una transformada de Fourier los limites son $0$ y $\pm \infty,$ y $G(f)$ y constituye un par transformada de Fourier; ver Figura [[Special:MyLanguage/Dictionary:Fig_F-19|F-19]].]]
FIG. F-18. (a) Análisis de Fourier implica encontrar la amplitud de los componentes de frecuencia de una onda. La representación en el dominio de la frecuencia o espectro G(f) de una función en tiempo discreta gt (onda, traza sísmica, etc.) puede ser descompuesta en una serie de sinusoides por cualquiera de las siguientes ecuaciones equivalentes:
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{t}&=a_{0}/2+\sum [a_{n}\cos(2\pi f_{n}t)+b_{n}\cos(2\pi ft)]\\&=c_{0}/2+\sum c_{n}\cos(2\pi f_{n}t-\gamma _{n})=\sum \alpha _{n}exp[j2\pi f_{n}t]\end{aligned}}}
Donde
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=(2/T)\sum g_{i}\cos(2\pi f_{i}t),\\b_{n}&=(2/T)\sum g_{i}\sin(2\pi f_{i}t),\\c_{n}&=(2/T)\sum g_{i}\cos(2\pi f_{i}t-\gamma _{i}),\\\gamma _{n}&=0,\;\gamma _{n}=\tan ^{-1}(b_{n}/a_{n}),\\&n>0,\;\alpha =(2/T)\sum g_{i}exp[j2\pi f_{i}t]\end{aligned}}}
Si ${\displaystyle g(t)}$ es una onda continua, los signos sumatoria se convierten en integrales. (b) Síntesis de Fourier implica la superposición de componentes para reconstruir la forma de la onda. Para una onda diente de sierra antisimétrica, los primeros cuatro componentes son:
${\displaystyle \sin x;-(1/2)\sin 2x;(1/3)\sin 3x;-(1/4)\sin 4x}$
Para una transformada de Fourier los limites son ${\displaystyle 0}$ y ${\displaystyle \pm \infty ,}$ y ${\displaystyle G(f)}$ y constituye un par transformada de Fourier; ver Figura F-19.