Series de Taylor

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Teorema de Taylor

Para una función diferenciable veces y para y en un intervalo abierto de una línea real, existe entre y tenemos

donde el restante está dado por


Aplicaciones del teorema de Taylor

La aplicación práctica del teorema de Taylor es proporcionar una representación alterna lista de una función, expandiendo esa función sobre un punto dado. El número de términos de la expansión de la serie Taylor refleja el número de derivadas continuas que la función que se está expandiendo tiene en el punto sobre el que se está ampliando.

El teorema de Taylor forma la base de varios esquemas numéricos de cálculo, incluida la aproximación de funciones uniformes, los métodos de formulación de diferencias finitas y la formulación de algoritmos de optimización global.

La forma compleja de la serie de Taylor para una función compleja valorada converge si y solo si la función es analítica dentro de un vecindario del punto en cuestión, la función está siendo expandida.

Las series de Taylor como una serie infinita en 1D

Una función de valor real se puede expresar en términos del valor de la función y sus derivadas en cualquier punto . En una variable esto es

donde ! denota factorial (e.g., ).

Por la prueba de relación de convergencia, la serie de Taylor converge para valores de donde la relación de -th y el término -th es menor que 1. Esto es:

Las series de Maclaurin es el caso especial donde b=0.


Prueba en 1D del teorema de Taylor

Caso N=1

Para consideramos el


Definimos una nueva función tal que .

Diferenciando con respecto a obtenemos



Ahora, construimos la función tal que y



Porque no es constante, por el teorema de Rolle debe tener un extremo en algún valor entre y , así y

resolviendo para el restante , permitiendo


Caso Arbitario N

Este mismo método se generaliza al caso arbitrario, ,

definimos una nueva función tal que como

Como arriba, diferenciamos con respecto a para obtener

.

Como en el caso , construimos una función tal que y

.

Porque no es constante, debe tener un extremo en algún punto entre y

.

Resolviendo para completa la prueba


Prueba de la serie infinita del teorema de Taylor en 1D

Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que

implicando que

Nuestro método para construir la serie de Taylor será por integración repetitiva por partes del término restante, donde introducimos


Integramos los términos restantes por partes, integrando el término y diferenciando el término tenemos



Este proceso se puede aplicar repetitivamente para obtener una forma familiar de la expansión de Taylor. Suponga que esto se ha hecho veces, entonces el término restante




Series de Taylor de una función analítica

Dada una función analítica dentro de una región del plano complejo , entonces podemos escribir

donde las series convergen en un disco, centrado en el valor , contenido dentro .