Transformada de Hilbert

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Dada una funcion , no singular cuando y que es una respuesta causal tal que para ; entonces es la transformada de Fourier,



(donde frecuencia angular y ) tiene la característica especial conocida como la transformada de Hilbert, expresada como




donde denota el valor principal de Cauchy en las discontinuidades. Si desaparece para su transformada de Fourier,



tiene y definiendo un par transformado de Hilbert. y tienen el mismo espectro de amplitud pero difieren en fase por . se denomina señal analítica correspondiente a , y es la señal de cuadratura correspondiente a . Con frecuencia se utiliza en análisis complejo de trazas (q.v.).

La ambiguedad en el signo de la expresión resulta, en parte, de la notacion seleccionada para la transformada de Fourier y las prácticas comunes de implementación numérica.


Recibe su nombre en honor a David Hilbert (1862–1943), matemático alemán.


Derivación de la Transformada de Hilbert

Hay diversas anotaciones y diversas convenciones de signos dependiendo de la elección que se pueda tomar, pero esto no tiene ningún efecto en el uso de la transformada de Hilbert, mientras se mantenga consistencia.


La Fórmula Integral de Cauchy

Nuestra derivación aquí comienza con el Cauchy Integral Formula, que es un resultado estándar de la teoría de funciones de una variable compleja


Aquí es una variable compleja, como es y la función es una función con valores complejos de . La función es analítica lo que significa que existe la derivada de con respecto a (y de manera similar existe la derivada con respecto a de ) cierta región limitada por la curva cerrada llamada el contorno de integración


Partes Imaginarias y Reales

Ahora todo lo que tenemos que hacer es sustituir y y comparar las partes reales e imaginarias. Cuando hacemos esto, obtenemos las expresiones para las partes imaginarias y reales de  :


Así, para una función analítica , hay una relación entre sus partes reales e imaginarias. Estas expresiones formales proporcionan un contexto para la transformada de Hilbert.


Contorno de la integración y el Valor Principal de Cauchy

"Figure 1: the contour C for a Cauchy Principal Value integral"

Por el Cauchy's Theorem podemos cambiar un contorno de integración en el plano complejo de cualquier manera que quisieramos siempre y cuando no intentemos cruzar un polo, punto de bifurcación u otra singularidad, que son los lugares donde la integral es incapaz de ser analítica. Ver la figura 1.

Aquí consideramos que el contorno de integración consiste en una porción del eje real de y de , más una integral sobre el semicírculo de radio más pequeño , que tienden a tener un radio que desaparece como más una integral sobre el semicírculo más grande , que tiende a tener radio infinito, como . Porque el punto de es una particularidad, la porción del contorno de integración a lo largo del eje real sólo puede tener sentido como una evaluación de valor Principal de Cauchy.

Volviendo a la función de valores complejos , podemos escribir la fórmula integral de Cauchy como la suma de tres integrales



El 0 del Teorema de Cauchy resulta debido al hecho de que no hay polo dentro del contorno

Nosotros ahora restringimos la evaluación a las funciones como . Esto es, asumimos que se anula más rápido que como . Porque la longitud del arco del semicírculo más grande crece como una función de esta restricción garantiza que la contribución de la integral sobre el semicírculo más grande desaparece como .

Si el contorno puede ampliarse hasta el infinito, con para estar en algún lugar sobre el eje real, entonces podriamos reemplazar la integral sobre con un valor Principal de la integral de Cauchy a lo largo del eje real. El Residue Theorem, cuando se aplica a un contorno semicircular pasando por debajo de yields el cual es llamado mitad-residuo que con lleva a la forma especial de la fórmula de la integral de Cauchy


donde la expresión de la izquierda es la evaluación del Valor Principal de Cauchy.


Substituyendo y recíprocamente obtenemos las dos expresiones equivalentes para las partes real e imaginaria en términos del valor principal de la integral de Cauchy


y

.


Definiendo la tranformada de Hilbert

La primera expresión define la transformada directa de Hilbert, la cual la escribimos substituyendo y para y como

Aquí, el signo en la integral es naturalmente positivo . El signo menos ha sido absorbido dentro de la integral por el cambio del orden de y en el denominador de la integral original. Esto se hace para llegar a la forma de convolution

La forma correcta de la transformada inversa de Hilbert, es dada arriba por el segundo valor principal de la integral de Cauchy como

Es común que la misma definición de integral se utiliza para la transformada directa e inversa. La doble aplicación de la transformada de Hilbert produce la negativa de la expresión original[1]



La representación de Fourier de la transformada de Hilbert

Si nosotros empezamos con la forma de la convolucion de la transformada de Hilbert

Sabemos por los resultados de convolución que la convolución en el dominio del tiempo es la multiplicación en el dominio de la frecuencia, así que podemos escribir claramente la transformada de Hilbert como

Aquí, denota la tranformada directa de Fourier.

Vamos ahora a calcular la transformada de Fourier de .

Consideraremos el contorno integral

con siendo un trayecto cerrado en sentido contrario de las manecillas del reloj, de la integral que incluye el origen. Por el teorema del residuo, esta integral se evalúa fácilmente como


"Figure 2: contour for t<0 and positive frequency"


Elección del contorno

Como en la anterior discusión, nosotros cambiamos el contorno de integración para crear una integral de valor real en el eje real. Esta integral tiene sentido como un valor Principal de la integral de Cauchy. Es decir, evitamos la particularidad en la integral en . Además de esta contribución, existe una evaluación mitad-residuo en el arco semicircular debido al polo en . El Principal valor de la integral se obtiene finalmente, realizando un proceso limitante a cada lado de la particularidad.

La tercera parte es una integral sobre el contorno del semicírculo más grande, pero esta desaparece por un resultado conocido como Jordan's Lemma

del cual podemos escribir,

Aquí estamos considerando que seria una variable compleja, tal que .Hay limitaciones en los valores de de tal forma que esta integral pueda existir. Observamos que la parte exponencial de la integral puede ser reescrita como

donde and .

Aqui el factor de

> representa un decaimiento exponencial si el exponente es negativo y un crecimiento exponencial si el signo del exponente es positivo. Ya que estamos alterando el contorno con el fin de hacerlo infinito, debemos tener una integral que disminuya. De lo contrario, la integral desaparecería, no existiría. Si la integral no desaparece en un determinado plano medio de math> t </math> entonces la integral representa una función que es analítica en ese plano medio.

Por lo tanto, cuando para el caso en que el contorno de integración se cierra en el plano-medio-superior de tenemos que tener y cuando el contorno se cierra en el plano-medio-bajo de tenemos que tener para que la integral exista.

"Figure 3: contour for t>0 and negative frequency"

Cuando nosotros cerramos en el plano medio inferior de el contorno de la integral estaria en sentido de la manecillas del reloj, ocacionando que cada una de las evaluaciones de residuo sean negativas y conlleven a


Por lo tanto, la Tranformada de Fourier de es

La aparición de la función puede parecer un poco misteriosa. Usando esta función, es la única manera de combinar los resultados de ambas integraciones en una expresión unificada. Cada integración define un resultado que sólo es bueno en el respectivo plano medio donde existe la integral respectiva. La función es de analytic continuation de estas dos integraciones. Esta función es válida para todos excepto posiblemente


Resultado Final

Por lo tanto, para esta opción de convención del signo exponencial de la transformada de Fourier


Este resultado es sin el signo menos. Si tuviéramos que definir la transformada directa e inversa de Fourier con el signo del exponente contrario, entonces el resultado tendría un signo menos.


Referencias

  1. Titchmarsh, E (1948), Introducción a la teoría de integrales de Fourier (2do ed.), Universidad de Oxford: Clarendon Press (publicado 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5.