Ecuación Eikonal

(del griego $\iota \kappa o\nu$ (ikon) que significa "imagen". Una ecuación derivada de la ecuación de onda a través de la sustitución de una solución de prueba de onda harmónica en la ecuación de onda. En una forma de la ecuación eikonal vista en la literatura de la física, la velocidad local $V$ es comparada a la velocidad de referencia $V_{R}$(análoga a comparar una velocidad a la rapidez de la luz en el vacio):

$\left(\nabla \phi \right)^{2}=\left({\frac {V}{V_{R}}}\right)^{2}=n^{2}$,

donde $n$ es un índice de refracción y la cantidad $\phi$ es identificada como la función de avance de la fase de propagación de onda, la cual es el "tiempo de viaje" de un punto en un frente de onda. El uso del índice de refracción refleja el deseo de los físicos de trabajar con coordenadas sin dimensiones.

Comúnmente en la literatura geofísica, la ecuación eikonal (para ondas escalares) está escrita solo en términos de la velocidad media $V(\mathbf {x} )$ donde $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3})$, tal que

$\left(\nabla \phi (\mathbf {x} )\right)^{2}={\frac {1}{V^{2}(\mathbf {x} )}}.$

Soluciones a la ecuación eikonal producen altas frequencias o largos número de onda, lo cual es una representación asintótica de un campo de onda, como una familia de rayos, representados por la posición y dirección del rayo---también llamado aspecto "cinemático" de la propagación de onda.

Otra forma de la ecuación eikonal está escrita en términos del vector de dirección del rayo $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})$ donde el gradiente del vector del tiempo de viaje (ó "lentitud") $p_{i}={\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}$ para $i=1,2,3$

$p^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} =p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}$

por lo tanto $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3})$ son las "coordenadas generalizadas" y $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})$ son el "momento generalizado" de la mecánica Hamiltoniana, y la ecuación eikonal corresponde a la función Hamiltoniana ó la ecuación Hamilton-Jacobi de la mecánica analítica.

Enlaces externos

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